Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 23

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dane są okręgi

O_{1}

oraz

O_{2}

o równaniach:

$O_{1} : (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 5$
$O_{2} : (x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 45$ .

Te okręgi przecinają się w punktach

A

oraz

B

. Punkt

A

ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt

M

spełnia warunek

A M = - 2 \cdot B M

.
Oblicz współrzędne punktów

A

,

B

oraz

M

.

A = (\frac{16}{5}, - \frac{13}{5})

,

B = (- 1, - 2)

,

M = (\frac{2}{5}, - \frac{11}{5})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Punkty $A$ i $B$ leżą na obu okręgach, więc ich współrzędne spełniają układ równań. Odejmujemy równania stronami, żeby pozbyć się $x^{2}$ i $y^{2}$ . Otrzymujemy równanie prostej $A B$ .
$(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} - (x - 2)^{2} - (y - 4)^{2} = 5 - 45 x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 6 y + 9 - x^{2} + 4 x - 4 - y^{2} + 8 y - 16 = - 40 2 x + 14 y = - 30 x + 7 y = - 15$

Zadanie 11 Planimetria

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

. Na środku boku

A B

zaznaczono punkt

D

. Następnie poprowadzono odcinek

D C

, dzielący trójkąt

A B C

na dwa trójkąty

A D C

i

D B C

. Ponadto

∣ A D ∣ = ∣ D B ∣ = 30

cm oraz

∣ D C ∣ = 50

cm (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole trójkąta $D B C$ jest równe $600$ cm $^{2}$ .
Pole trójkąta $A B C$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $A D C$ .

Zadanie 11 Równania

2 pkt

Właściciel restauracji kupił

75

kilogramów pomidorów:

x

kg pomidorów malinowych w cenie

11

złotych za kilogram oraz

y

kg pomidorów cherry w cenie

7, 98

złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie

752, 52

złotych.

Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.
Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria analityczna

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest równoległobok

A B C D

o wierzchołkach

A = (- 8, - 1)

i

D = (- 13, 9)

oraz środku symetrii

M = (- \frac{9}{2}, 1)

.

Okrąg

O

przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki

A B

i

B C

tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu

O

jest liczbą ujemną.

Wyznacz równanie okręgu

O

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Funkcja liniowa

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 5 x

. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji

f

przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi

O x

i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej

g

.

Funkcja

g

jest określona wzorem

Zadanie 12 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 6 4^{x}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

.
Liczba

f (- \frac{2}{3})

jest równa

Zadanie 12 Planimetria

1 pkt

Na rysunku przedstawiono trapez prostokątny oraz podano długości trzech jego boków.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Pole tego trapezu jest równe A/B.

Najdłuższy bok tego trapezu ma długość C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 12 Liczby naturalne

1 pkt

Na osi liczbowej zaznaczono punkty

A

,

B

i

C

. Odcinek

A C

jest podzielony na

6

równych części.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Współrzędna punktu $C$ jest liczbą parzystą.
Współrzędna punktu $B$ jest liczbą mniejszą od $74$ .

Zadanie 12.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od

5

, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa

5

.

Wykaż, że objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.1 Funkcja kwadratowa

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne

(3, 6)

. Ta parabola przecina oś

O y

w punkcie o współrzędnych

(0, 3)

.

Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.1 Funkcje

2 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = {- 2 x - 10 x - 1 dla x \in (- 5, - 3] dla x \in (- 3, 4]

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba ___.
2. Wartość wyrażenia

f (- 2) + 3 \cdot f (2)

jest równa ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym

243

.

Wykaż, że objętość

V

graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy jest określona wzorem

V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.2 Pochodne

4 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym

243

.

Objętość

V

graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy jest określona wzorem

V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

dla

a \in (0, 43)

.

Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.2 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne

(3, 6)

. Ta parabola przecina oś

O y

w punkcie o współrzędnych

(0, 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

Zadanie 12.2 Funkcje

2 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = {- 2 x - 10 x - 1 dla x \in (- 5, - 3] dla x \in (- 3, 4]

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział ___.
2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

f (x) < - 2

jest przedział ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki