Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Najmniejsza wartość funkcji $f$ to $-4$ — jest osiągana w wierzchołku wykresu, zaznaczonym pełnym kółkiem, więc należy do zbioru wartości.
2. Prawa gałąź wykresu (od wierzchołka do prawego końca) rośnie w sposób ciągły od $-4$ do $3$, więc obejmuje już cały przedział $⟨-4,3⟩$. Lewa gałąź nie wykracza poza ten przedział, więc nie dodaje nowych wartości.
3. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $⟨-4,3⟩$.

1. Obliczamy pole rombu $R$ jako połowę iloczynu długości jego przekątnych.
   $$P_R=\frac{64}{2}=32$$
2. Zdanie pierwsze jest prawdziwe (P).
3. Obliczamy pole kwadratu $K$.
   $$P_K=8^2=64$$
4. Pole kwadratu $K$ ($64$) jest różne od pola rombu $R$ ($32$), więc drugie zdanie jest fałszywe (F). Odpowiedź: PF.

1. Oznaczmy przez $x$ kwotę przyznaną zespołowi A, a przez $y$ kwotę przyznaną zespołowi B. Warunki zadania zapisujemy w postaci układu równań:
   $$\{\begin{array}{l}x+y=1200000\\ 0,13x+0,11y=146700\end{array}$$
2. Z pierwszego równania wyznaczamy $y=1200000-x$ i podstawiamy do drugiego:
   $$0,13x+0,11(1200000-x)=146700$$
3. Wymnażamy nawias i rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 0,13x+132000-0,11x=146700\\ & 0,02x=14700\\ & x=735000\end{array}$$
4. Zespołowi A przyznano kwotę $735000$ zł.

1. Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i redukujemy wyrazy podobne:
   $$\begin{array}{rl}& x(x+4)<x-2\\ & x^2+4x-x+2<0\\ & x^2+3x+2<0\end{array}$$
2. Obliczamy wyróżnik trójmianu $x^2+3x+2$:
   $$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot 2=1$$
3. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu:
   $$x_1=\frac{-3-\sqrt{1}}{2}=-2,x_2=\frac{-3+\sqrt{1}}{2}=-1$$
4. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę, a wyrażenie $x^2+3x+2$ przyjmuje wartości ujemne między pierwiastkami:
   
5. Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział:
   $$x\in (-2,-1)$$

1. Oś symetrii paraboli o wzorze $f(x)=a{x}^2+bx+c$ wyraża się wzorem $x=-\frac{b}{2a}$. Tutaj $a=\frac{1}{2}$, a oś symetrii to $x=1$, więc:
   $$-\frac{b}{2\cdot \frac{1}{2}}=1$$
2. Rozwiązujemy równanie.
   $$\begin{array}{rl}& -b=1\\ & b=-1\end{array}$$

1. Iloczyn jest równy zeru, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Wyznaczamy rozwiązania z każdego czynnika:
   $$3x-12=0⟹x=4$$
2. Z drugiego czynnika:
   $$10+5x=0⟹x=-2$$
3. Z trzeciego czynnika:
   $$x-3=0⟹x=3$$
4. Obliczamy sumę wszystkich rozwiązań:
   $$4+(-2)+3=5$$

1. Analizujemy Wniosek 1. Dwa kąty proste dawałyby już $180°$ (trzeci kąt musiałby być zerowy), a dwa kąty rozwarte przekroczyłyby $180°$. Żadna z tych sytuacji nie jest możliwa w trójkącie. Wniosek 1 jest prawdziwy.
2. Analizujemy Wniosek 2. Szukamy kontrprzykładu: trójkąta rozwartokątnego równoramiennego, np. o kątach $20°,20°,140°$.
   $$20°+20°+140°=180°$$
3. Taki trójkąt istnieje, więc Wniosek 2 jest fałszywy.
4. Analizujemy Wniosek 3. Jeśli suma dwóch kątów trójkąta jest większa od $90°$, to trzeci kąt musi być mniejszy od $90°$.
   $$\gamma =180°-(\alpha +\beta )<180°-90°=90°$$
5. Wniosek 3 jest prawdziwy. Prawdziwe są wnioski 1. i 3., czyli odpowiedź A.

1. Dziedziną funkcji jest suma dziedzin poszczególnych gałęzi:
   $$(-5,-2]\cup (-2,1]\cup (1,3]=(-5,3]$$
2. Wyznaczamy zbiór wartości na każdej gałęzi. Na $(-5,-2]$ funkcja $-x-2$ maleje od nieosiąganej wartości $3$ (przy $x\to -5^{+}$) do wartości $0$ przy $x=-2$, czyli przyjmuje wartości $[0,3)$. Na $(-2,1]$ funkcja jest stale równa $0$. Na $(1,3]$ funkcja $x$ przyjmuje wartości $(1,3]$. Suma tych zbiorów daje cały przedział:
   $$[0,3)\cup \{0\}\cup (1,3]=[0,3]$$
3. Wyznaczamy miejsca zerowe. Na $(-5,-2]$ równanie $-x-2=0$ daje $x=-2$. Na $(-2,1]$ funkcja jest tożsamościowo równa zeru, więc cały ten przedział to miejsca zerowe. Na $(1,3]$ równanie $x=0$ nie ma rozwiązania w tym przedziale. Łącząc:
4. Obliczamy $f(-3)$ (argument $-3$ należy do pierwszej gałęzi):
   $$f(-3)=-(-3)-2=1$$
5. Rozwiązujemy nierówność $f(x)<1$ na każdej gałęzi. Na $(-5,-2]$: $-x-2<1\Rightarrow x>-3$, po przecięciu z dziedziną gałęzi daje $(-3,-2]$. Na $(-2,1]$: nierówność $0<1$ jest zawsze prawdziwa, więc cały przedział $(-2,1]$ spełnia warunek. Na $(1,3]$: $x<1$ nie ma rozwiązań w tym przedziale. Suma rozwiązań:

1. Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i porządkujemy:
   $$\begin{array}{rl}& 3(2x^2+1)<11x\\ & 6x^2+3-11x<0\\ & 6x^2-11x+3<0\end{array}$$
2. Obliczamy wyróżnik trójmianu $6x^2-11x+3$:
   $$\Delta =(-11{)}^2-4\cdot 6\cdot 3=121-72=49$$
3. Wyznaczamy miejsca zerowe:
   $$x_1=\frac{11-7}{12}=\frac{1}{3},x_2=\frac{11+7}{12}=\frac{3}{2}$$
4. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Szukamy argumentów, dla których wartości funkcji są ujemne (bo mamy znak $<0$) – to przedział między miejscami zerowymi:
   
   $$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{3}{2}\right)$$

1. Liczymy losy wygrywające: od $1$ do $9$ jest ich $9$, a od $46$ do $72$ jest ich:
   $$72-46+1=27$$
2. Razem losów wygrywających jest:
   $$9+27=36$$
3. Losów pustych jest zatem $72-36=36$, więc szukane prawdopodobieństwo jest równe:
   $$\frac{36}{72}$$

1. Wprowadzamy oznaczenia:
   

   • $x$ - wiek Ani
   • Kasia jest $3$ razy starsza od Ani, więc jej wiek to $3x$
   • Ola jest o $2$ lata starsza od Kasi, więc jej wiek to $3x+2$
2. Obliczamy łączny wiek Kasi, Ani i Oli, dodając wyrażenia opisujące ich wiek:
   $$x+3x+(3x+2)=7x+2$$
3. Łączny wiek Kasi, Ani i Oli opisuje wyrażenie $7x+2$ (odpowiedź D).