Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Wykres przechodzi przez punkty $(-2,0)$ oraz $(0,-3)$, więc współczynnik kierunkowy (równy tangensowi kąta nachylenia do osi $Ox$) jest równy:
   $$a=\frac{-3-0}{0-(-2)}=-\frac{3}{2}$$

1. Wzór $g(x)=f(x-5)$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $5$ jednostek w prawo wzdłuż osi $Ox$, bez zmiany współrzędnej $y$.
2. Wierzchołek $W=(-3,7)$ przesuwa się więc do punktu:
   $$(-3+5,7)=(2,7)$$

1. Sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej. Mała wartość $\sin \alpha =\frac{1}{4}$ oznacza, że kąt $\alpha$ jest mały, więc przyprostokątna naprzeciw niego jest krótsza.
   $$\sin \alpha =\frac{\text{kroˊtsza przyprostokątna}}{8}$$
2. Wyznaczamy krótszą przyprostokątną.
   $$\begin{array}{rl}& \text{kroˊtsza przyprostokątna}=8\cdot \sin \alpha \\ & \text{kroˊtsza przyprostokątna}=8\cdot \frac{1}{4}=2\end{array}$$

1. 
   
   Siatka sześcianu składa się z $6$ przystających kwadratów (ścian). Obwód tej siatki (zaznaczony na czerwono) to suma boków zewnętrznych, jest ich $14$.
2. Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a$. Obwód siatki to $14$ takich boków, więc:
   $$14a=70⟹a=5$$
3. Pole powierzchni całkowitej sześcianu to suma pól jego $6$ ścian:
   $$P=6a^2=6\cdot 5^2=6\cdot 25=150$$

1. Aby ustawić prostopadłościany jeden na drugim i otrzymać jeden większy prostopadłościan, muszą się one stykać ścianami o takich samych wymiarach. Pierwszy prostopadłościan ma wymiary $5,6,10$, a drugi $6,6,10$ - wspólna para wymiarów to $6$ i $10$, więc oba prostopadłościany stoją na wspólnej podstawie $6\times 10$.
2. Brakujący wymiar (wysokość) pierwszego prostopadłościanu to $5$, a drugiego to $6$. Po ustawieniu jednego na drugim powstaje prostopadłościan o podstawie $6\times 10$ i wysokości:
   $$5+6=11$$
3. Obliczamy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $6$, $10$ i $11$:
   $$2(6\cdot 10+6\cdot 11+10\cdot 11)=2(60+66+110)=2\cdot 236=472$$

1. Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_n=a_1+(n-1)r$. Z warunku $a_5=17$ wyznaczamy różnicę $r$:
   $$\begin{array}{rl}& a_5=a_1+4r\\ & 17=1+4r\\ & r=4\end{array}$$
2. Obliczamy dziewiąty wyraz ciągu:
   $$a_9=a_1+8r=1+8\cdot 4=33$$

1. Trzy sześciany o krawędzi $5$ ustawione jeden na drugim tworzą prostopadłościan o podstawie $5\times 5$ i wysokości równej $3\cdot 5=15$.
2. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $a=5$, $b=5$, $c=15$ obliczamy ze wzoru:
   $$P=2(ab+ac+bc)=2\left(5\cdot 5+5\cdot 15+5\cdot 15\right)$$
3. Wykonujemy obliczenia:
   $$P=2(25+75+75)=2\cdot 175=350$$

1. Obliczamy kolejne wyrazy ciągu, odejmując za każdym razem $6$ od poprzedniego wyrazu:
   $$\begin{array}{rl}{a}_1& =2\\ a_2& =2-6=-4\\ a_3& =-4-6=-10\\ a_4& =-10-6=-16\\ a_5& =-16-6=-22\end{array}$$

1. Wzór rekurencyjny $a_{n+1}=a_n-6$ oznacza, że różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i wynosi $-6$ — ciąg jest więc arytmetyczny (P).
2. Ponieważ różnica ciągu jest ujemna ($r=-6<0$), każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego — ciąg jest malejący (P).