Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 42

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt

(3, 0)

. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych

(0, - 9)

.

Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

następująco:

g (x) = f (x) - 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja $g$ ma jedno miejsce zerowe.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x = 3$ .

FP

1
Wstawiamy wzór $f (x) = - (x - 3)^{2}$ do $g (x) = f (x) - 1$ , więc wykres $g$ to wykres $f$ przesunięty o $1$ w dół.

Zadanie 12.3 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja

f

jest określona wzorem

Zadanie 13 Funkcja liniowa

1 pkt

Liczba

2

jest miejscem zerowym funkcji liniowej

f (x) = (3 - m) x + 4

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

m

jest równa

Zadanie 13 Planimetria

1 pkt

Na rysunku przedstawiono kwadrat podzielony na

6

jednakowych prostokątów. Obwód każdego z tych prostokątów jest równy

28

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód kwadratu jest równy

Zadanie 13 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Suma

n

początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem

S_{n} = n^{2} + 2 n

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zadanie 13 Funkcje

1 pkt

Na rysunku 2., w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

g

, powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji

f

wzdłuż osi

O x

o

4

jednostki w lewo.

Funkcje

f

i

g

są powiązane zależnością

Zadanie 13 Geometria przestrzenna

1 pkt

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość

7

. Krawędź boczna tego graniastosłupa jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego graniastosłupa jest równa

Zadanie 13 Planimetria

1 pkt

Na rysunku przedstawiono prostokąt o bokach długości

a

i

b

podzielony na sześć kwadratów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek długości boków

a : b

tego prostokąta jest równy

Zadanie 13 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Zadanie 13 Funkcja liniowa

1 pkt

Funkcje liniowe

f

oraz

g

, określone wzorami

f (x) = 3 x + 6

oraz

g (x) = a x + 7

, mają to samo miejsce zerowe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik

a

we wzorze funkcji

g

jest równy

Zadanie 13 Planimetria

4 pkt

Promień okręgu opisanego na trójkącie

A B C

jest równy

17

. Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok

A C

, a długości dwóch pozostałych boków są równe

∣ A B ∣ = 30

oraz

∣ B C ∣ = 17

. Oblicz miarę kąta

B A C

oraz długość boku

A C

tego trójkąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Logarytmy

1 pkt

Funkcja logarytmiczna

f

jest określona wzorem

f (x) = lo g_{6} x

dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wartość funkcji $f$ dla argumentu $36$ jest równa $6$ .
Funkcja $f$ jest rosnąca.

Zadanie 13.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości

3456

, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż

83

.

Wykaż, że pole

P

powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

P (a) = \frac{a ^{2} \cdot 3}{2} + \frac{13824 3}{a}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13.1 Funkcje

2 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{12 x - 84}{x - 8}

dla każdego

x \in (- \infty, 8)

.

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie czworokąty

O B C D

, w których:

• wierzchołek

O

ma współrzędne

(0, 0)

• wierzchołki

B

oraz

D

są punktami przecięcia wykresu funkcji

f

z osią - odpowiednio -

O x

i

O y

• wierzchołek

C

ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji

f

(zobacz rysunek).

Wykaż, że pole

P

czworokąta

O B C D

w zależności od pierwszej współrzędnej

x

punktu

C

jest określone wzorem

P (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{x ^{2} - 56}{x - 8}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości

H

ostrosłupa oraz promienia

R

okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa

6

.

Wykaż, że objętość

V

każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości

R

promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

V (R) = \frac{3}{4} \cdot (6 R^{2} - R^{3})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki