Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Wprowadzamy oznaczenia:
   

   • $a$ - długość krawędzi podstawy (kwadratu)
   • $h$ - długość krawędzi bocznej (wysokości graniastosłupa)

   Z treści zadania wiemy, że $a=7$, a krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy.
   $$h=2\cdot 7=14$$
2. Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to iloczyn pola podstawy (kwadratu o boku $a$) i wysokości $h$.
   $$V=a^2\cdot h$$
3. Podstawiamy dane wartości i obliczamy objętość.
   $$V=7^2\cdot 14=49\cdot 14=686$$

1. Skoro $2$ jest miejscem zerowym funkcji, to $f(2)=0$. Podstawiamy $x=2$ do wzoru funkcji:
   $$(3-m)\cdot 2+4=0$$
2. Rozwiązujemy otrzymane równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 6-2m+4=0\\ & 10-2m=0\\ & m=5\end{array}$$

1. Obliczamy wartość funkcji dla $x=36$:
   $$f(36)={\log }_{6}36={\log }_6{6}^2=2$$
2. Otrzymana wartość $2$ jest różna od $6$, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Podstawa logarytmu $6>1$, więc funkcja logarytmiczna $f(x)={\log }_{6}x$ jest rosnąca — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $f$:
   $$\begin{array}{rl}& 3x+6=0\\ & 3x=-6\\ & x=-2\end{array}$$
2. Funkcja $g$ ma to samo miejsce zerowe, więc $g(-2)=0$:
   $$a\cdot (-2)+7=0$$
3. Rozwiązujemy równanie względem $a$:
   $$\begin{array}{rl}& -2a+7=0\\ & -2a=-7\\ & a=\frac{7}{2}\end{array}$$

1. Wyznaczamy współrzędne punktu $B$ (przecięcie wykresu z osią $Ox$), rozwiązując równanie $f(x)=0$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{12x-84}{x-8}=0\\ & 12x-84=0\\ & x=7\in (-\infty ,8)\end{array}$$
2. Zatem $B=(7,0)$. Wyznaczamy współrzędne punktu $D$ (przecięcie wykresu z osią $Oy$), obliczając $f(0)$:
   $$f(0)=\frac{12\cdot 0-84}{0-8}=\frac{21}{2}⟹D=\left(0,\frac{21}{2}\right)$$
3. Punkt $C$ leży na wykresie funkcji $f$ i ma obie współrzędne dodatnie, więc $C=\left(x,\frac{12x-84}{x-8}\right)$, gdzie $0<x<7$.
4. Przekątna $OC$ dzieli czworokąt $OBCD$ na trójkąty $OCD$ i $OBC$:
   
   więc pole $P$ jest sumą pól tych trójkątów:
5. Sprowadzamy do wspólnego mianownika i upraszczamy:
   $$P=\frac{21}{4}\cdot \frac{x^2-8x+8x-56}{x-8}=\frac{21}{4}\cdot \frac{x^2-56}{x-8},x\in (0,7)$$

1. Przyjmujemy oznaczenia: $A,B,C$ - wierzchołki podstawy ostrosłupa, $a$ - długość krawędzi podstawy, $R$ - promień okręgu opisanego na podstawie, $H$ - wysokość ostrosłupa. Podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym, więc promień okręgu opisanego na niej wynosi $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, skąd $a=R\sqrt{3}$.
2. Obliczamy pole $P_p$ podstawy ostrosłupa:
   $$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(R\sqrt{3}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$$
3. Ponieważ $H+R=6$, mamy $H=6-R$. Obliczamy objętość $V$ ostrosłupa:
   $$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\cdot (6-R)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (6R^2-R^3)$$

1. W ciągu geometrycznym wyraz $a_5$ wyraża się przez wyraz $a_2$ i iloraz $q$ w następujący sposób:
   $$a_5=a_2\cdot q^3$$
2. Podstawiamy dane wartości:
   $$54=2\cdot q^3$$
3. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& q^3=27\\ & q=3\end{array}$$

1. Zamieniamy czas z minut na godziny.
   $$t=2\text{min}=\frac{2}{60}\text{h}=\frac{1}{30}\text{h}$$
2. Prędkość obliczamy jako iloraz drogi i czasu.
   $$v=\frac{s}{t}$$
3. Podstawiamy dane i obliczamy prędkość.
   $$v=\frac{3}{\frac{1}{30}}=3\cdot 30=90\frac{\text{km}}{\text{h}}$$

1. Parabola ma z osiami układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne: jeden na osi $Oy$ (punkt $M$) i jeden na osi $Ox$ (punkt $N$). Gdyby parabola przecinała oś $Ox$ w dwóch różnych punktach, punktów wspólnych z osiami byłoby razem trzy. Zatem $N=(3,0)$ jest jedynym punktem wspólnym paraboli z osią $Ox$, czyli wierzchołkiem tej paraboli.
2. Zapisujemy wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej z wierzchołkiem w punkcie $N=(3,0)$:
   $$f(x)=a(x-3{)}^2,a\ne 0$$
3. Punkt $M=(0,18)$ leży na wykresie funkcji $f$, więc $f(0)=18$:
   $$\begin{array}{rl}& a(0-3{)}^2=18\\ & 9a=18\\ & a=2\end{array}$$
4. Zatem wzór funkcji kwadratowej to:
   $$f(x)=2(x-3{)}^2=2x^2-12x+18$$

1. Trójkąt $ADE$ jest prostokątny i równoramienny, a kąt prosty leży w wierzchołku $A$ (tak samo jak w trójkącie $ABC$), więc przyprostokątne $AE$ i $AD$ mają równą długość. Oznaczmy tę długość przez $x$.
2. Korzystamy z pola trójkąta $ADE$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2}{x}^2=200\\ & x^2=400\\ & x=20\end{array}$$
3. Przyprostokątna trójkąta $ADE$ jest równa $20$ cm, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
4. Bok $AE$ powstał z wydłużenia boku $AC$ o $7$ cm, a bok $AD$ z wydłużenia boku $AB$ o $12$ cm, więc:
   $$\begin{array}{rl}& AC=AE-7=20-7=13\\ & AB=AD-12=20-12=8\end{array}$$
5. Obliczamy pole trójkąta $ABC$:
   $$\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 13=52$$
6. Pole trójkąta $ABC$ jest równe $52$ cm${}^2$, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P).