Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. W pierwszym kawałku ($x\in (-5,-3]$) funkcja $f(x)=-2x-10$ jest malejąca. Dla $x$ dążącego do $-5$ wartość $f(x)$ dąży do $0$ (bez osiągnięcia), a dla $x=-3$ funkcja przyjmuje wartość $f(-3)=-2\cdot (-3)-10=-4$. W tym kawałku funkcja przyjmuje więc wartości z przedziału $[-4,0)$.
2. W drugim kawałku ($x\in (-3,4]$) funkcja $f(x)=x-1$ jest rosnąca. Dla $x$ dążącego do $-3$ wartość $f(x)$ dąży do $-4$ (bez osiągnięcia), a dla $x=4$ funkcja przyjmuje wartość $f(4)=4-1=3$. W tym kawałku funkcja przyjmuje wartości z przedziału $(-4,3]$.
3. Łącząc oba zbiory wartości, otrzymujemy zbiór wartości funkcji $f$:
   $$[-4,0)\cup (-4,3]=[-4,3]$$
4. Rozwiązujemy nierówność $f(x)<-2$ w pierwszym kawałku:
   $$\begin{array}{rl}-2x-10& <-2\\ -2x& <8\\ x& >-4\end{array}$$
5. Dla $x\in (-5,-3]$ otrzymujemy $x\in (-4,-3]$. W drugim kawałku:
   $$x-1<-2⟹x<-1$$
6. Dla $x\in (-3,4]$ otrzymujemy $x\in (-3,-1)$. Łącząc oba przedziały (punkt $x=-3$ należy do pierwszego z nich), otrzymujemy zbiór rozwiązań nierówności:
   $$(-4,-3]\cup (-3,-1)=(-4,-1)$$

1. Miejsca zerowe funkcji $g$ to argumenty, dla których $g(x)=0$, czyli $f(x)=3$:
   $$g(x)=0⟺f(x)=3$$
2. Z treści zadania wiemy, że $f(0)=3$ (parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,3)$), więc $x=0$ jest jednym z miejsc zerowych funkcji $g$. Drugie miejsce zerowe jest symetryczne do $x=0$ względem osi symetrii $x=3$:
3. Zatem $x_1=0$, $x_2=6$, a ich suma:
   $$x_1+x_2=0+6=6$$

1. Funkcja liniowa ma postać $g(x)=ax+b$. Wyraz wolny $b$ to wartość funkcji dla argumentu $0$:
   $$b=-\frac{3}{2}$$
2. Miejsce zerowe to $x=-3$, czyli $g(-3)=0$. Podstawiamy i wyznaczamy $a$:
   $$\begin{array}{rl}& -3a-\frac{3}{2}=0\\ & -3a=\frac{3}{2}\\ & a=-\frac{1}{2}\end{array}$$
3. Zatem wzór funkcji to:
   $$g(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$$

1. Kwadrat $AEGD$ ma wszystkie boki równe, więc jego bok jest równy przyprostokątnej $EG$ trójkąta $EFG$.
   $$AD=AE=EG=DG=6$$
2. Romb $FBCG$ ma wszystkie boki równe, więc jego bok jest równy bokowi $FG$ trójkąta $EFG$.
   $$BC=CG=GF=FB=10$$
3. Obliczamy długości boków $AB$ i $DC$ trapezu jako sumy odcinków, na które je podzielono.
   $$\begin{array}{rl}& AB=AE+EF+FB=6+8+10=24\\ & DC=DG+GC=6+10=16\end{array}$$
4. Obliczamy obwód trapezu jako sumę długości wszystkich jego boków.
   $$Obw=AB+BC+CD+DA=24+10+16+6=56$$

1. Ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego wyznaczamy pierwszy wyraz $a_1$, korzystając z danych $a_{10}=-24$ oraz $d=-4$.
   $$\begin{array}{rl}& a_{10}=a_1+9d\\ & -24=a_1+9\cdot (-4)\\ & a_1=-24+36=12\end{array}$$
2. Obliczamy szósty wyraz, podstawiając $a_1=12$ oraz $d=-4$.
   $$a_6=a_1+5d=12+5\cdot (-4)=12-20=-8$$

1. Sześcian ma $6$ przystających ścian kwadratowych. Jeśli $a$ oznacza długość krawędzi sześcianu, to pole powierzchni całkowitej wynosi $6a^2$. Wyznaczamy $a$:
   $$\begin{array}{rl}& 6a^2=150\\ & a^2=25\\ & a=5\end{array}$$
2. Obliczamy objętość sześcianu o krawędzi $a=5$ cm:
   $$V=a^3=5^3=125$$
3. Objętość tego sześcianu jest równa $125$ cm${}^3$ (odpowiedź B).

1. Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją stałą, czyli gdy jej współczynnik kierunkowy jest równy zero:
   $$3-m=0⟹m=3$$

1. Zapisujemy wyrazy $a_3$ i $a_6$ przez pierwszy wyraz $a_1$ i iloraz $q$, a następnie podstawiamy do danego warunku.
   $$\begin{array}{rl}& a_3=a_1{q}^2,a_6=a_1{q}^5\\ & a_1{q}^2=-8\cdot a_1{q}^5\end{array}$$
2. Dzielimy obie strony przez $a_1{q}^2$ (wyrazy ciągu są różne od $0$, więc $a_1\ne 0$ i $q\ne 0$), a następnie wyznaczamy $q$.

1. W równoległoboku przekątne dzielą się na połowy, więc środek przekątnej $AC$ jest taki sam jak środek przekątnej $BD$. Wyznaczamy środek $AC$.
   $$S=\left(\frac{-3+4}{2},\frac{-2+2}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},0\right)$$
2. Współrzędne punktu $B=(x,y)$ muszą dawać ten sam środek co punkt $D$, więc układamy równania.
   $$\begin{array}{rl}& \frac{x+(-1)}{2}=\frac{1}{2}\\ & \frac{y+2}{2}=0\end{array}$$
3. Rozwiązujemy równania i otrzymujemy współrzędne wierzchołka $B$.
   $$\begin{array}{rl}& x=2\\ & y=-2\end{array}$$
4. Zatem wierzchołek $B$ ma współrzędne $(2,-2)$.

1. Obliczamy trzy początkowe wyrazy ciągu:
   $$a_1=3\cdot 1^2-3\cdot 1=0,a_2=3\cdot 2^2-3\cdot 2=6,a_3=3\cdot 3^2-3\cdot 3=18$$
2. Sumujemy je:
   $$S_3=a_1+a_2+a_3=0+6+18=24$$