Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Dziedziną funkcji jest suma przedziałów, na których jest ona określona:
   $$[-4,-2]\cup (-2,2]\cup (2,4)=[-4,4)$$
2. Odczytujemy wartości funkcji na poszczególnych kawałkach: na pierwszym ($x+5$) wartości rosną od $f(-4)=1$ do $f(-2)=3$, na drugim funkcja jest stała i równa $3$, a na trzecim ($-3x+9$) wartości maleją od $3$ (wyłącznie) do $-3$ (wyłącznie). Łącząc te zbiory wartości, otrzymujemy przedział:
   $$(-3,3]$$
3. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie tam, gdzie wykres leży powyżej osi $Ox$. Na pierwszym i drugim kawałku wartości są dodatnie na całej ich dziedzinie. Na trzecim kawałku rozwiązujemy nierówność:
   $$-3x+9>0⟹x<3$$
4. Łącząc powyższe przedziały ($[-4,-2]$, $(-2,2]$ oraz $(2,3)$), otrzymujemy zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:
   $$[-4,3)$$
5. Rozwiązujemy równanie $f(x)=3$ na każdym kawałku. Na pierwszym:
   $$x+5=3⟹x=-2$$
6. Ten wynik należy do dziedziny pierwszego kawałka. Na drugim kawałku funkcja jest stale równa $3$ dla każdego $x\in (-2,2]$. Na trzecim:
   $$-3x+9=3⟹x=2$$
7. Wartość $x=2$ nie należy do dziedziny trzeciego kawałka (jest już uwzględniona w drugim). Łącząc rozwiązania, otrzymujemy zbiór:
   $$[-2,2]$$

1. Oś symetrii paraboli leży w połowie odległości między jej miejscami zerowymi. Skoro jedno miejsce zerowe to $6$, a oś symetrii to $x=1$, drugie miejsce zerowe $x_2$ wyznaczamy z warunku:
   $$\frac{6+x_2}{2}=1$$
2. Rozwiązujemy równanie.
   $$\begin{array}{rl}& 6+x_2=2\\ & x_2=-4\end{array}$$
3. Funkcję kwadratową o współczynniku $a=\frac{1}{2}$ i miejscach zerowych $-4$ oraz $6$ zapisujemy w postaci iloczynowej.
   $$f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$$

1. Wprowadzamy oznaczenia:
   

   • $x$ - wiek Ani
   • Kasia jest $3$ razy starsza od Ani, więc jej wiek to $3x$
   • Ola jest o $2$ lata starsza od Kasi, więc jej wiek to $3x+2$
2. Obliczamy łączny wiek Kasi, Ani i Oli, dodając wyrażenia opisujące ich wiek:
   $$x+3x+(3x+2)=7x+2$$
3. Łączny wiek Kasi, Ani i Oli opisuje wyrażenie $7x+2$ (odpowiedź D).

1. Wzór $g(x)=f(x-3)$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $3$ jednostki w prawo wzdłuż osi $x$. Oś symetrii przesuwa się o tyle samo.
2. Oś symetrii wykresu funkcji $f$ to $x=1$, więc oś symetrii wykresu funkcji $g$ to:
   $$x=1+3=4$$

1. Trapez prostokątny ma podstawy równoległe o długościach $1$ cm i $9$ cm oraz wysokość $6$ cm (bok prostopadły do obu podstaw). Obliczamy pole trapezu:
   $$P=\frac{(1+9)\cdot 6}{2}=\frac{60}{2}=30$$
2. Pole tego trapezu jest równe $30$ cm${}^2$ (odpowiedź A).
3. Najdłuższym bokiem trapezu jest jego ukośny bok. Różnica długości podstaw wynosi $9-1=8$ cm, a wysokość trapezu to $6$ cm. Te dwa odcinki są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątną jest szukany bok. Z twierdzenia Pitagorasa:
   $$\begin{array}{rl}& d^2=8^2+6^2\\ & d^2=64+36=100\\ & d=10\end{array}$$
4. Najdłuższy bok tego trapezu ma długość $10$ cm (odpowiedź D).

1. Przesunięcie wykresu o $1$ jednostkę w prawo wzdłuż osi $Ox$ polega na zastąpieniu $x$ przez $x-1$ we wzorze funkcji:
   $$g(x)=f(x-1)=5(x-1)$$
2. Upraszczamy:
   $$g(x)=5x-5$$

1. Miejsce zerowe szukamy w każdym z kawałków funkcji. W pierwszym kawałku ($x\in (-5,-3]$) rozwiązujemy równanie $-2x-10=0$:
   $$-2x-10=0⟹x=-5$$
2. Liczba $-5$ nie należy jednak do przedziału $(-5,-3]$ (przedział jest otwarty w tym punkcie), więc w tym kawałku funkcja nie ma miejsca zerowego. W drugim kawałku ($x\in (-3,4]$) rozwiązujemy równanie $x-1=0$:
   $$x-1=0⟹x=1$$
3. Liczba $1$ należy do przedziału $(-3,4]$, więc miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $1$.
4. Obliczamy $f(-2)$: argument $-2$ należy do przedziału $(-3,4]$, więc korzystamy ze wzoru $f(x)=x-1$:
   $$f(-2)=-2-1=-3$$
5. Obliczamy $f(2)$: argument $2$ również należy do przedziału $(-3,4]$:
   $$f(2)=2-1=1$$
6. Obliczamy wartość wyrażenia:
   $$f(-2)+3\cdot f(2)=-3+3\cdot 1=-3+3=0$$

1. Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej, wykorzystując współrzędne wierzchołka $(3,6)$:
   $$f(x)=a(x-3{)}^2+6,a\ne 0$$
2. Parabola przechodzi przez punkt $(0,3)$, więc $f(0)=3$:
   $$a(0-3{)}^2+6=3$$
3. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 9a+6=3\\ & 9a=-3\\ & a=-\frac{1}{3}\end{array}$$
4. Zatem wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej to:
   $$f(x)=-\frac{1}{3}(x-3{)}^2+6$$

1. Oznaczmy przez $H$ wysokość rozważanego graniastosłupa. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego to suma pól dwóch podstaw (trójkątów równobocznych o boku $a$) i pola powierzchni bocznej (trzech prostokątów o bokach $a$ i $H$):
   $$24\sqrt{3}=2\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3aH$$
2. Wyznaczamy z tego równania wysokość $H$ w zależności od $a$:
   $$\begin{array}{rl}& 3aH=24\sqrt{3}-\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\\ & H=\frac{24\sqrt{3}-\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{3a}=\frac{48\sqrt{3}-a^2\sqrt{3}}{6a}\end{array}$$
3. Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości. Podstawiamy wyznaczone $H$:
   $$V(a)=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{48\sqrt{3}-a^2\sqrt{3}}{6a}$$
4. Upraszczamy wyrażenie, korzystając z $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$:
5. To należało wykazać.