Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 25

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

{a_{1} = 2 a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny.
Ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny.

FF

1
Liczymy trzy pierwsze wyrazy ciągu. Każdy następny to poprzedni razy $2$ plus $1$ .
$a_{1} = 2, a_{2} = 2 \cdot 2 + 1 = 5, a_{3} = 2 \cdot 5 + 1 = 11$

Zadanie 14.2 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n^{2} - 3 n

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny.
Wszystkie wyrazy ciągu $(a_{n})$ są liczbami parzystymi.

Zadanie 14.3 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

.
W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Funkcja

g

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

g (x) = f (x - 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji

g

jest prosta o równaniu

Zadanie 15 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{32 \cdot ( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n - 1}}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Szósty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zadanie 15 Trygonometria

1 pkt

Informacja do zadań 14.–15.
Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym bok

B C

jest przeciwprostokątną, punkt

D

jest środkiem przyprostokątnej

A B

oraz

∣ A B ∣ = 6

i

∣ C D ∣ = 5

. Oznaczmy kąt

A D C

przez

α

, natomiast kąt

A B C

– przez

β

(zobacz rysunek).

Sinus kąta

β

jest równy

Zadanie 15 Trygonometria

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych

α

oraz

β

(zobacz rysunek).

Sinus kąta

α

jest równy

\frac{4}{7}

.

Cosinus kąta

β

jest równy

Zadanie 15 Geometria przestrzenna

1 pkt

Trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka prostopadłościanu mają długości:

5

,

6

,

7

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe

Zadanie 15 Ciągi

3 pkt

Wyznacz wartość

m

, dla której trzywyrazowy ciąg

(2 m + 11, m^{2} + 3, 5 - m)

jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Geometria przestrzenna

1 pkt

Sześcienną kostkę o objętości

1

dm

^{3}

włożono do prostopadłościennego pudełka, którego krawędzie oznaczono literami

a

,

b

,

c

(zobacz rysunek). Długość krawędzi sześciennej kostki stanowi

\frac{1}{3}

długości krawędzi

a

,

\frac{1}{2}

długości krawędzi

b

i

\frac{2}{5}

długości krawędzi

c

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego pudełka jest równa

Zadanie 15.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od

5

, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa

5

.
a) Wykaż, że objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.1 Ciągi

1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, dane są wyrazy:

a_{1} = 52

oraz

a_{25} = 2

.

Różnica ciągu

(a_{n})

jest równa

Zadanie 15.2 Ciągi

1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, dane są wyrazy:

a_{1} = 52

oraz

a_{25} = 2

.

Suma

S_{25}

dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Zadanie 15.2 Pochodne

4 pkt

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od

5

, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa

5

.
b) Objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

dla

h \in (5, + \infty)

.
Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16 Procenty

2 pkt

Takie same hulajnogi są sprzedawane w sklepach A, B, C. W sklepie B cena hulajnogi stanowi

80%

ceny hulajnogi w sklepie A. W sklepie C cena hulajnogi stanowi

120%

ceny hulajnogi w sklepie B.

Uzasadnij, że cena hulajnogi w sklepie C jest niższa od ceny hulajnogi w sklepie A. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16 Ciągi

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(4, m, m - 1)

jest geometryczny, gdy liczba

m

jest równa

Zbiór zadań

Wyniki