Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Wykres paraboli jest symetryczny względem prostej $x=1$, więc drugie miejsce zerowe leży w takiej samej odległości od osi symetrii jak $x=6$, po drugiej stronie:
   $$x_2=2\cdot 1-6=-4$$
2. Znamy postać iloczynową funkcji kwadratowej z miejscami zerowymi $6$ i $-4$ oraz współczynnikiem $\frac{1}{2}$ przy $x^2$:
   $$f(x)=\frac{1}{2}(x-6)(x-(-4))=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$$

1. Wiemy, że $f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)$. Rozwijamy nawiasy:
   $$\begin{array}{rl}& (x+4)(x-6)=x^2-2x-24\\ & f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-x-12\end{array}$$
2. Odczytujemy współczynniki: $b=-1$, $c=-12$. Oba są liczbami ujemnymi, więc oba stwierdzenia są fałszywe.

1. Obliczamy pierwsze trzy wyrazy ciągu:
   $$a_1=2,a_2=5,a_3=11$$
2. Sprawdzamy różnice kolejnych wyrazów:
   $$a_2-a_1=3,a_3-a_2=6$$
3. Różnice nie są równe, więc ciąg NIE jest arytmetyczny (F).
4. Sprawdzamy ilorazy kolejnych wyrazów:
   $$\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{2},\frac{a_3}{a_2}=\frac{11}{5}$$
5. Ilorazy nie są równe, więc ciąg NIE jest geometryczny (F).

1. Obliczamy różnice kolejnych wyrazów: $a_1=0$, $a_2=6$, $a_3=18$, więc $a_2-a_1=6$, a $a_3-a_2=12$. Różnice nie są sobie równe, zatem ciąg $(a_n)$ NIE jest arytmetyczny — stwierdzenie pierwsze jest fałszywe (F).
2. Zapisujemy wzór ciągu w postaci iloczynowej:
   $$a_n=3n^2-3n=3n(n-1)$$
3. Liczby $n$ i $n-1$ to dwie kolejne liczby całkowite, więc jedna z nich zawsze jest parzysta, a ich iloczyn $n(n-1)$ jest parzysty. Zatem $3n(n-1)$ też jest parzyste — wszystkie wyrazy ciągu są parzyste, stwierdzenie drugie jest prawdziwe (P).

1. Podstawienie $x-3$ w miejsce $x$ przesuwa wykres funkcji $f$ o $3$ jednostki w prawo, więc oś symetrii też przesuwa się o $3$ w prawo:
   $$x=1+3=4$$

1. Prostopadłościan ma trzy pary przystających ścian. Obliczamy pola trzech różnych ścian.
   $$\begin{array}{rl}& P_1=5\cdot 6=30\\ & P_2=6\cdot 7=42\\ & P_3=7\cdot 5=35\end{array}$$
2. Pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich sześciu ścian - każda z trzech par występuje dwukrotnie.
   $$P_c=2(P_1+P_2+P_3)=2(30+42+35)=2\cdot 107=214$$

1. Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy $\sin \alpha$ (dodatni, bo kąt $\alpha$ jest ostry).
   $$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$$
2. Obliczamy tangens jako iloraz sinusa i cosinusa.
   $$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{12}{13}\cdot \frac{13}{5}=\frac{12\cdot \bcancel{13}}{\bcancel{13}\cdot 5}=\frac{12}{5}$$

1. Sześcienna kostka ma objętość $1$ dm${}^3$, więc długość jej krawędzi $s$ spełnia $s^3=1$, czyli $s=1$ dm.
2. Wprowadzamy oznaczenia:
   

   • $a$ - długość krawędzi pudełka, dla której $s=\frac{1}{3}a$
   • $b$ - długość krawędzi pudełka, dla której $s=\frac{1}{2}b$
   • $c$ - długość krawędzi pudełka, dla której $s=\frac{2}{5}c$
3. Wyznaczamy długości krawędzi pudełka:
   $$\begin{array}{rl}& a=3s=3\cdot 1=3\\ & b=2s=2\cdot 1=2\\ & c=\frac{5}{2}s=\frac{5}{2}\cdot 1=2,5\end{array}$$
4. Obliczamy objętość prostopadłościennego pudełka:
   $$V=a\cdot b\cdot c=3\cdot 2\cdot 2,5=15$$
5. Objętość tego pudełka jest równa $15$ dm${}^3$ (odpowiedź D).

1. Podstawiamy $n=6$:
   $$a_6=\frac{32\cdot (-1{)}^6}{2^{6-1}}=\frac{32\cdot 1}{2^5}=\frac{32}{32}=1$$

1. Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_n=a_1+(n-1)r$ dla $n=25$:
   $$\begin{array}{rl}& a_{25}=a_1+24r\\ & 2=52+24r\\ & 24r=-50\\ & r=-\frac{50}{24}=-\frac{25}{12}\end{array}$$

1. Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
   $$S_{25}=\frac{a_1+a_{25}}{2}\cdot 25=\frac{52+2}{2}\cdot 25=27\cdot 25=675$$

1. W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
   $$\begin{array}{rl}& m^2=4(m-1)\\ & m^2-4m+4=0\\ & (m-2{)}^2=0\\ & m=2\end{array}$$
2. Sprawdzamy: dla $m=2$ ciąg to $(4,2,1)$ o ilorazie $q=\frac{1}{2}\ne 0$ — to poprawny ciąg geometryczny.

1. Trzeci składnik sumy obliczamy, odejmując od $\frac{7}{15}$ pozostałe dwa składniki. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika $30$.
   $$\frac{7}{15}-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)=\frac{14}{30}-\frac{11}{30}$$
2. Wykonujemy odejmowanie i skracamy otrzymany ułamek.
   $$\frac{14}{30}-\frac{11}{30}=\frac{3}{30}=\frac{\bcancel{3}\cdot 1}{\bcancel{3}\cdot 10}=\frac{1}{10}$$
3. Trzeci składnik tej sumy można więc przedstawić w postaci ułamka $\frac{1}{10}$, którego licznik jest równy $1$, a mianownik $10$ jest liczbą całkowitą dodatnią - warunki zadania są spełnione.