Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Liczymy pochodną funkcji $f$ i rozkładamy ją na czynniki.
   $$f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2=12x^2(x-1)$$
2. Miejsca zerowe pochodnej to $x=0$ oraz $x=1$. Badamy znak $f^{\prime }$ w kolejnych przedziałach – czynnik $12x^2$ jest zawsze nieujemny, więc o znaku $f^{\prime }$ decyduje czynnik $(x-1)$.
3. W punkcie $x=0$ pochodna nie zmienia znaku (jest ujemna po obu stronach), więc to nie jest ekstremum. W punkcie $x=1$ znak zmienia się z ujemnego na dodatni, więc funkcja $f$ ma tam jedyne ekstremum lokalne – minimum.

1. Korzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego $S=\frac{a_1}{1-q}$ i podstawiamy dane $S=\frac{9}{4}$ oraz $q=\frac{2}{3}$.
   $$\frac{9}{4}=\frac{a_1}{1-\frac{2}{3}}$$
2. Upraszczamy mianownik po prawej stronie i wyznaczamy $a_1$.
   $$\begin{array}{rl}& \frac{9}{4}=\frac{a_1}{\frac{1}{3}}\\ & \frac{9}{4}=3a_1\\ & a_1=\frac{3}{4}\end{array}$$

1. Po pierwszym roku kapitał powiększa się o $6\%$, czyli mnożymy przez $1,06$.
   $$10000\cdot 1,06=10600$$
2. Po drugim roku odsetki liczymy już od nowego kapitału, więc znowu mnożymy przez $1,06$.
   $$10600\cdot 1,06=11236$$
3. Odsetki to różnica między kapitałem końcowym a wpłaconym wkładem.
   $$11236-10000=1236$$

1. Rozkładamy liczby $18$ i $27$ na czynniki pierwsze i wyznaczamy największy wspólny dzielnik:
   $$18=2\cdot 3^2,27=3^3⟹X=\text{NWD}(18,27)=9$$
2. Wyznaczamy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $2$ i $4$:
   $$Y=\text{NWW}(2,4)=4$$
3. Podstawiamy $X=9$ i $Y=4$ do kodu $YXXY$:
   $$YXXY=4994$$

1. Obliczamy oba składniki w nawiasie:
   $$0,75\cdot 8=6,8\cdot \frac{1}{2}=4$$
2. Dodajemy otrzymane wyniki:
   $$6+4=10$$
3. Dzielimy sumę przez $-2$:
   $$10:(-2)=-5$$

1. Zapisujemy składnik wewnątrz pierwszego pierwiastka jako potęgi o wykładnikach wymiernych:
   $$5\sqrt{5}=5^1\cdot 5^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}}$$
2. Teraz to samo z zewnętrznym pierwiastkiem:
   $$\sqrt{5^{\frac{3}{2}}}=(5^{\frac{3}{2}}{)}^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{4}}$$

1. Obliczamy $w$:
   $$w=\sqrt{100-64}-2=\sqrt{36}-2=6-2=4$$
2. Obliczamy $x$:
   $$x=12-\sqrt{64+36}=12-\sqrt{100}=12-10=2$$
3. Obliczamy $y$:
   $$y=\sqrt{25-16}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0$$
4. Obliczamy $z$:
   $$z=7-\sqrt{9+16}=7-\sqrt{25}=7-5=2$$
5. Jedyną z tych liczb równą $0$ jest $y$.

1. Zapisujemy liczbę pod logarytmem jako potęgę liczby $5$ o wykładniku wymiernym:
   $$\sqrt[3]{25}=25^{\frac{1}{3}}=(5^2{)}^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{2}{3}}$$
2. Obliczamy logarytm, korzystając z definicji:
   $${\log }_5{5}^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}$$

1. Zapisujemy $9$ i $27$ jako potęgi liczby $3$ czyli: $9=3^2$, $27=3^3$.
2. Podstawiamy i stosujemy prawa działań na potęgach:
   $$\frac{3^{10}\cdot (3^2{)}^{20}}{(3^3{)}^{15}}=\frac{3^{10}\cdot 3^{40}}{3^{45}}=\frac{3^{50}}{3^{45}}$$
3. Odejmujemy wykładniki:
   $$3^{50-45}=3^5$$