Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 6

2 pkt

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od

5

, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa

5

.

Wykaż, że objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

r^{2} = \frac{25 h ^{2}}{h ^{2} - 25}

, więc

V (h) = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Rozpatrujemy dowolny z rozważanych stożków. Niech $A, B, C$ będą wierzchołkami trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka, $D$ – środkiem podstawy stożka, $E$ – spodkiem wysokości trójkąta $D B C$ opuszczonej z wierzchołka $D$ na bok $B C$ , $r$ – promieniem podstawy stożka, $h$ – wysokością stożka.

Zadanie 12.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym

243

.

Wykaż, że objętość

V

graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy jest określona wzorem

V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.2 Pochodne

4 pkt

Objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

dla

h \in (5, + \infty)

.

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.2 Pochodne

4 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym

243

.

Objętość

V

graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy jest określona wzorem

V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

dla

a \in (0, 43)

.

Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Geometria przestrzenna

5 pkt

Podstawą ostrosłupa

A B C D S

jest kwadrat

A B C D

. Krawędź boczna

S A

jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość

334

. Cosinus kąta

β

między ścianami bocznymi

C D S

i

B C S

tego ostrosłupa jest równy

(- \frac{9}{25})

.
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od

5

, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa

5

.
a) Wykaż, że objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.2 Pochodne

4 pkt

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od

5

, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa

5

.
b) Objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

dla

h \in (5, + \infty)

.
Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Funkcje

2 pkt

W chwili początkowej (

t = 0

) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A. W wyniku tej reakcji masa

m

związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością

m (t) = a \cdot 2^{- 0, 05 \cdot t} + b dla t \geq 0

gdzie:

m

– masa związku A wyrażona w gramach,

t

– czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili

t = 0

),

a, b

– współczynniki liczbowe. Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili

t = 0

) była równa

m_{0}

gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy

t \to \infty

) masa tego związku była równa

\frac{1}{9}

jego masy początkowej (zobacz rysunek).

Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało

87, 5%

masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Funkcje

2 pkt

Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością

Q (t) = Q_{0} \cdot β^{- t}

dla

t \geq 0

gdzie:

Q_{0}

– ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej (

t = 0

) wyrażony w milikulombach,

Q

– ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili

t

(licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach,

β

– stała dodatnia,

t

– czas wyrażony w sekundach.

Wiadomo, że w chwili

t = 4

s w kondensatorze był zgromadzony ładunek

2

milikulombów, a w chwili

t = 6

s – ładunek

18

milikulombów.

Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili

t = 5

s. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Geometria analityczna

1 pkt

Odległość punktu

A = (6, 2)

od prostej o równaniu

5 x - 12 y + 1 = 0

jest równa

Zadanie 1 Logarytmy

1 pkt

Liczba

8 1^{\frac{3 \cdot l o g 6}{l o g 27}}

jest równa

Zadanie 1 Funkcje

2 pkt

W chwili początkowej (

t = 0

) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa

80

°C. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa

20

°C. Temperatura

T

tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością

T (t) = (T_{p} - T_{z}) \cdot k^{- t} + T_{z} dla t \geq 0

gdzie:

T

– temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,

t

– czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,

T_{p}

– temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,

T_{z}

– temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,

k

– stała charakterystyczna dla danej cieczy.

Po

10

minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury

65

°C.

Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Liczba

(2 - 43)^{3} - (2 + 43)^{3}

jest równa

Zadanie 2 Wartość bezwzględna

1 pkt

Równanie

∣2 x - 4∣ = 3 x + 1

w zbiorze liczb rzeczywistych

Zadanie 2 Planimetria

2 pkt

Okrąg

O

jest styczny do boków

A C

i

B C

trójkąta

A B C

oraz przecina bok

A B

tego trójkąta w punktach

M

oraz

N

,
przy czym

0 < ∣ A M ∣ < ∣ A N ∣ < ∣ A B ∣

.

Wykaż, że jeśli

∣ A M ∣ = ∣ B N ∣

, to trójkąt

A B C

jest równoramienny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki