Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SA jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość 334. Cosinus kąta β między ścianami bocznymi CDS i BCS tego ostrosłupa jest równy (−259).
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCD o podstawie ABC. Płaszczyzna zawierająca krawędź AB podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej CD przecina tę krawędź w punkcie E, przy czym ∣DE∣∣CE∣=113.
Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy ABC. Zapisz obliczenia.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD o wierzchołkach A=(−8,−1) i D=(−13,9) oraz środku symetrii M=(−29,1).
Okrąg O przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki AB i BC tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu O jest liczbą ujemną.
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym 243.
Objętość V graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy jest określona wzorem
V(a)=6a−81a3
dla a∈(0,43).
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.
W chwili początkowej (t=0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa 20 °C. Temperatura T tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością
T(t)=(Tp−Tz)⋅k−t+Tzdlat≥0
gdzie: T – temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, t – czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej, Tp – temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, Tz – temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza, k – stała charakterystyczna dla danej cieczy.
Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury 65 °C.
Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.
W chwili początkowej (t=0) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A.
W wyniku tej reakcji masa m związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością
m(t)=a⋅2−0,05⋅t+bdlat≥0
gdzie: m – masa związku A wyrażona w gramach, t – czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili t=0), a,b – współczynniki liczbowe.
Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili t=0) była równa m0 gramów.
Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy t→∞) masa tego związku była równa 91 jego masy początkowej (zobacz rysunek).
Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało 87,5% masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.
Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością
Q(t)=Q0⋅β−t dla t≥0
gdzie: Q0 – ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej (t=0) wyrażony w milikulombach, Q – ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili t (licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach, β – stała dodatnia, t – czas wyrażony w sekundach.
Wiadomo, że w chwili t=4 s w kondensatorze był zgromadzony ładunek 2 milikulombów, a w chwili t=6 s – ładunek 18 milikulombów.
Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili t=5 s. Zapisz obliczenia.
Oznaczmy przez H wysokość rozważanego graniastosłupa. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego to suma pól dwóch podstaw (trójkątów równobocznych o boku a) i pola powierzchni bocznej (trzech prostokątów o bokach a i H):
243=2⋅4a23+3aH
Wyznaczamy z tego równania wysokość H w zależności od a:
3aH=243−2a23H=3a243−2a23=6a483−a23
Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości. Podstawiamy wyznaczone H:
V(a)=4a23⋅H=4a23⋅6a483−a23
Upraszczamy wyrażenie, korzystając z 3⋅3=3:
To należało wykazać.
r2=h2−2525h2, więc V(h)=31πr2h=3π⋅h2−2525h3
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.