Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 18

2 pkt

Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa

13

i żadna cyfra nie jest zerem.

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

220

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Oznaczmy cyfry szukanej liczby jako $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{10}$ . Ponieważ żadna cyfra nie jest zerem, każda z nich należy do zbioru ${1, 2, \dots, 9}$ , a ich suma wynosi $13$ .

Zadanie 5 Granice

2 pkt

Oblicz granicę

n \to \infty lim \frac{( 3 n + 2 ) ^{2} - ( 1 - 2 n ) ^{2}}{( 2 n - 1 ) ^{2}}

.

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Wyrażenia algebraiczne

2 pkt

Wynikiem dzielenia wielomianu

5 x^{3} - 7 x^{2} - 4 x - 4

przez dwumian

x - 2

jest trójmian kwadratowy postaci

a x^{2} + b x + c

.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – wartości współczynników

a

,

b

oraz

c

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Logarytmy

3 pkt

Niech

lo g_{2} 18 = c

. Wykaż, że

lo g_{3} 4 = \frac{4}{c - 1}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Dowody algebraiczne

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

większej od

2

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2} - 2 x - 4 > 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Logarytmy

3 pkt

Niech

lo g_{2} 9 = c

. Wykaż, że

lo g_{3} 54 = \frac{3 c + 2}{c}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Nierówności

3 pkt

Rozwiąż nierówność:

\frac{2 x - 1}{1 - x} \leq \frac{2 + 2 x}{5 x}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie:

sin (x + \frac{1}{4} π) \cdot cos (x + \frac{1}{4} π) = \frac{2}{4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Planimetria

3 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

. Na boku

A B

tego trójkąta obrano punkty

D

,

E

i

F

tak, że

∣ A D ∣ = ∣ D E ∣ = ∣ E F ∣ = 2∣ F B ∣

. Na bokach

A C

i

B C

obrano – odpowiednio – punkty

G

i

H

tak, że

D G ∥ E C

oraz

F H ∥ E C

(zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli pole trójkąta

F B H

jest równe

S

, to pole trójkąta

A D G

jest równe

3 S

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

2 cos^{2} x - cos x = sin 2 x - sin x

w przedziale

⟨ 0, 2 π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Planimetria

3 pkt

Dany jest trójkąt równoboczny

A B C

. Na bokach

A B

i

A C

wybrano punkty – odpowiednio –

D

i

E

takie, że

∣ B D ∣ = ∣ A E ∣ = \frac{1}{3} ∣ A B ∣

. Odcinki

C D

i

B E

przecinają się w punkcie

P

(zobacz rysunek).

Wykaż, że pole trójkąta

D B P

jest

21

razy mniejsze od pola trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Trygonometria

4 pkt

Na przeciwprostokątnej

A B

trójkąta prostokątnego

A B C

zbudowano kwadrat

A B D E

(zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy

k

.

Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa

\frac{1}{2 k}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Geometria analityczna

4 pkt

Dane są prosta

k

o równaniu

x - 2 y = 0

i prosta

l

o równaniu

2 x + y - 1 = 0

. Punkt

P

leży na prostej o równaniu

y = x + 4

. Odległość punktu

P

od prostej

k

jest dwa razy większa niż odległość punktu

P

od prostej

l

. Oblicz współrzędne punktu

P

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Prawdopodobieństwo

4 pkt

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez

15

, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez

18

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Trygonometria

4 pkt

Czworokąt

A B C D

jest wpisany w okrąg o promieniu

R = 52

. Przekątna

B D

tego czworokąta ma długość

10

. Kąty wewnętrzne

B A D

i

A D C

czworokąta

A B C D

są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy

\frac{3}{8}

. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?