Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Niech $n$ oznacza łączną liczbę kul w pudełku. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli czarnej to liczba kul czarnych podzielona przez wszystkie kule:
   $$\frac{18}{n}=\frac{3}{5}$$
2. Wyznaczamy $n$:
   $$\begin{array}{rl}& 3n=18\cdot 5\\ & 3n=90\\ & n=30\end{array}$$
3. Liczba kul białych to różnica wszystkich kul i kul czarnych:
   $$30-18=12$$

1. W dwukrotnym rzucie kostką liczba wszystkich zdarzeń elementarnych to iloczyn liczby wyników pierwszego i drugiego rzutu:
   $$|\Omega |=6\cdot 6=36$$
2. Zliczamy pary $(a,b)$, w których pierwszy wynik $a$ jest większy od drugiego wyniku $b$, grupując po wyniku pierwszego rzutu:
   

   • pierwszy rzut $1$ - $0$ możliwości (nie ma mniejszej liczby oczek)
   • pierwszy rzut $2$ - $1$ możliwość ($b=1$)
   • pierwszy rzut $3$ - $2$ możliwości ($b=1,2$)
   • pierwszy rzut $4$ - $3$ możliwości ($b=1,2,3$)
   • pierwszy rzut $5$ - $4$ możliwości ($b=1,2,3,4$)
   • pierwszy rzut $6$ - $5$ możliwości ($b=1,2,3,4,5$)

   Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$:
   $$|A|=0+1+2+3+4+5=15$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$$

1. Zapisujemy wzór funkcji $P$ w postaci ogólnej, wymnażając nawiasy:
   $$P(x)=(70-x)(20+x)=1400+70x-20x-x^2=-x^2+50x+1400$$
2. To funkcja kwadratowa o współczynniku $a=-1<0$, więc przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli, dla:
   $$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-50}{2\cdot (-1)}=25$$
3. Liczba $25$ spełnia warunki $x\ge 0$ i $x\le 60$, więc przychód jest największy dla $x=25$.

1. Zapisujemy wzór funkcji $P$ w postaci ogólnej, wymnażając nawiasy, i wstawiamy warunek $P(x)=800$:
   $$-x^2+50x+1400=800$$
2. Przenosimy wszystko na jedną stronę i porządkujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& -x^2+50x+600=0\\ & x^2-50x-600=0\end{array}$$
3. Obliczamy wyróżnik i pierwiastki:
   $$\begin{array}{rl}& \Delta =(-50{)}^2-4\cdot 1\cdot (-600)=2500+2400=4900,\sqrt{\Delta }=70\\ & x_1=\frac{50-70}{2}=-10,x_2=\frac{50+70}{2}=60\end{array}$$
4. Liczba $x$ musi spełniać warunek $x\ge 0$, więc odrzucamy $x_1=-10$. Pozostaje $x=60$, które spełnia też warunek $x\le 60$.

1. Po każdej dobie zostaje $81\%$ masy z dnia poprzedniego (ubywa $19\%$), więc kolejne masy $m(0),m(1),m(2),\dots$ tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $4$ i ilorazie $0,81$.
   $$m(t)=4\cdot 0,81^t$$
2. Sprawdzamy kolejne wartości funkcji, aż znajdziemy pierwszą liczbę całkowitą $t$, dla której masa spadnie poniżej $1,5$ grama.
   $$\begin{array}{rl}& m(4)=4\cdot 0,81^4\approx 1,72>1,5\\ & m(5)=4\cdot 0,81^5\approx 1,39<1,5\end{array}$$
3. Zatem masa substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1,5$ grama po pięciu dobach.

1. Z rysunku odczytujemy, że zaznaczony zbiór to suma dwóch przedziałów domkniętych na zewnętrznych krańcach: wszystkie liczby nie większe od $-2$ oraz wszystkie liczby nie mniejsze od $5$, czyli:
   $$(-\infty ,-2]\cup [5,+\infty )$$
2. Nierówność postaci $|x-c|\ge r$ opisuje zbiór liczb oddalonych od środka $c$ o co najmniej $r$, czyli $x\le c-r$ lub $x\ge c+r$. Środek $c$ to środek odcinka między $-2$ a $5$, a $r$ to odległość od środka do każdego z krańców:
   $$c=\frac{-2+5}{2}=1,5,r=5-1,5=3,5$$
3. Zatem zaznaczony zbiór jest zbiorem rozwiązań nierówności:
   $$|x-1,5|\ge 3,5$$

1. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Skala przepisu z $8$ do $40$ gofrów to:
   $$40:8=5$$
2. Mnożymy liczbę jajek przez $5$.
   $$2\cdot 5=10$$
3. Rzeczywiście potrzeba $10$ jajek, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
4. Sprawdzamy drugie zdanie. Skala przepisu z $8$ do $72$ gofrów to:
   $$72:8=9$$
5. Mnożymy liczbę szklanek mleka przez $9$.
   $$1\frac{1}{3}\cdot 9=\frac{4}{3}\cdot 9=12$$
6. Rzeczywiście potrzeba $12$ szklanek mleka, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.

1. Dodajemy wykładniki potęg o tej samej podstawie (mnożenie potęg):
   $$3^{-2,4}\cdot 3^{\frac{2}{5}}=3^{-2,4+0,4}=3^{-2}$$
2. Podnosimy potęgę do potęgi (mnożymy wykładniki):
   $${\left(3^{-2}\right)}^{\frac{1}{2}}=3^{-2\cdot \frac{1}{2}}=3^{-1}$$
3. Zamieniamy potęgę o wykładniku ujemnym na ułamek:
   $$3^{-1}=\frac{1}{3}$$

1. Nierówność $|x-5|<2$ oznacza, że liczba $x-5$ jest oddalona od zera o mniej niż $2$, czyli spełnia podwójną nierówność:
   $$-2<x-5<2$$
2. Dodajemy $5$ do każdej z trzech części nierówności:
   $$\begin{gathered} -2+5<x-5+5<2+5 \\ 3<x<7 \end{gathered}$$
3. Zbiorem rozwiązań jest przedział otwarty $(3,7)$. Na osi liczbowej odpowiada temu zamalowany obszar między $3$ a $7$ z niezamalowanymi (otwartymi) kółkami w tych punktach, czyli rysunek D.

1. Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej: nierówność $|x+5|<15$ oznacza, że wyrażenie $x+5$ leży w przedziale $(-15,15)$:
   $$-15<x+5<15$$
2. Odejmujemy $5$ od każdej strony podwójnej nierówności:
   $$-20<x<10$$
3. Liczby całkowite dodatnie spełniające ten warunek to $1,2,3,\dots ,9$ — jest ich $9$.

1. Odczytujemy z diagramu liczbę butelek dostarczonych i sprzedanych każdego dnia:
   

   • poniedziałek - dostawa $60$, sprzedaż $45$
   • wtorek - dostawa $100$, sprzedaż $85$
   • środa - dostawa $80$, sprzedaż $60$
2. Sprawdzamy pierwsze zdanie - obliczamy łączną sprzedaż z trzech dni:
   $$45+85+60=190$$
3. Otrzymana suma jest równa $190$ butelek - pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
4. Sprawdzamy drugie zdanie - obliczamy, ile stanowi $\frac{3}{4}$ liczby butelek dostarczonych w poniedziałek:
   $$\frac{3}{4}\cdot 60=45$$
5. W poniedziałek sprzedano dokładnie $45$ butelek, czyli tyle, ile wynosi $\frac{3}{4}$ dostawy - drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.

1. Obliczamy $a$, korzystając z tego, że $4=2^2$:
   $$a=4^{{\log }_{2}45}={\left(2^2\right)}^{{\log }_{2}45}=2^{2{\log }_{2}45}={\left(2^{{\log }_{2}45}\right)}^2=45^2=2025$$
2. Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu ${\log }_{9}2023=\frac{{\log }_{3}2023}{{\log }_{3}9}$ i obliczamy $b$:
3. Obliczamy różnicę:
   $$a-b=2025-2=2023$$

1. Korzystamy z własności pierwiastków sześciennych $\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$ i łączymy oba czynniki pod jednym pierwiastkiem:
   $$\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot \sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{16}\cdot 2}$$
2. Mnożymy pod pierwiastkiem, skracając $16$ i $2$:
   $$\sqrt[3]{-\frac{27}{{\bcancel{16}}_8}\cdot \bcancel{2}}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$$
3. Obliczamy pierwiastek sześcienny licznika i mianownika:
   $$\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$$