Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Obliczamy długość przekątnej podstawy — kwadratu o boku $4$:
   $$d=4\sqrt{2}$$
2. Kąt $\alpha$ leży w trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątnymi są wysokość graniastosłupa $h$ oraz przekątna podstawy $d$, więc:
   $$\text{tg}\alpha =\frac{h}{d}$$
3. Podstawiamy dane i wyznaczamy wysokość:
   $$\begin{array}{rl}& 2=\frac{h}{4\sqrt{2}}\\ & h=8\sqrt{2}\end{array}$$

1. Niech cyfra jedności będzie równa $j$, a cyfra dziesiątek $d=j+3$. Cyfra dziesiątek musi być mniejsza lub równa $9$, więc $j+3\le 9$, czyli $j\le 6$.
2. Cyfra jedności $j$ może więc przyjąć wartości $0,1,2,3,4,5,6$ — to $7$ możliwości, a każdej odpowiada dokładnie jedna liczba dwucyfrowa ($30,41,52,63,74,85,96$).

1. Liczba jest pięciocyfrowa, więc cyfra na pierwszym miejscu (dziesiątek tysięcy) nie może być $0$. Spośród cyfr $0,1,2,3$ zostają $3$ możliwości: $1$, $2$, $3$.
2. Liczba ma być nieparzysta, więc cyfra jedności musi być nieparzysta. Spośród cyfr $0,1,2,3$ nieparzyste są $1$ i $3$ — $2$ możliwości.
3. Pozostałe trzy cyfry (dziesiątek, setek, tysięcy) mogą być dowolne spośród $0,1,2,3$ — po $4$ możliwości na każdym miejscu.
4. Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb jest równa:
   $$3\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 2=384$$

1. Każdy kod to ustawienie w rzędzie czterech różnych cyfr - jest to permutacja czteroelementowego zbioru.
   $$4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$$

1. Z diagramu odczytujemy liczbę uczniów z poszczególnymi ocenami:
   

   • ocenę $1$ - $2$ uczniów
   • ocenę $2$ - $9$ uczniów
   • ocenę $3$ - $5$ uczniów
   • ocenę $4$ - $3$ uczniów
   • ocenę $5$ - $5$ uczniów
   • ocenę $6$ - $1$ uczeń

   Sprawdzian pisało łącznie:
   $$2+9+5+3+5+1=25$$
2. Obliczamy sumę wszystkich ocen (ocena razy liczba uczniów, którzy ją otrzymali):
   $$1\cdot 2+2\cdot 9+3\cdot 5+4\cdot 3+5\cdot 5+6\cdot 1=2+18+15+12+25+6=78$$
3. Średnia arytmetyczna to suma ocen podzielona przez liczbę uczniów:
   $$\bar{x}=\frac{78}{25}=3,12$$

1. Zdarzenia elementarne to uporządkowane pary $(x,y)$, gdzie $x\in C=\{1,2,3,4,5,6\}$, $y\in D=\{7,8,9,10\}$. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych:
   $$|\Omega |=6\cdot 4=24$$
2. Zdarzeniu $A$ sprzyjają pary, w których iloczyn $x\cdot y$ jest podzielny przez $4$:
   $$(1,8),(2,8),(2,10),(3,8),(4,7),(4,8),(4,9),(4,10),(5,8),(6,8),(6,10)$$
3. Zdarzeń sprzyjających jest $11$, więc:
   $$|A|=11$$
4. Obliczamy prawdopodobieństwo:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{11}{24}$$

1. Z warunku zadania wyznaczamy sumę liczb $a$, $b$, $c$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{a+b+c}{3}=9\\ & a+b+c=27\end{array}$$
2. Obliczamy średnią arytmetyczną sześciu liczb $a,a,b,b,c,c$:
   $$\frac{2a+2b+2c}{6}=\frac{2(a+b+c)}{6}=\frac{a+b+c}{3}=\frac{27}{3}=9$$

1. Sumę wszystkich punktów obliczamy, mnożąc liczbę punktów przez liczbę uczniów, którzy je uzyskali:
   $$0\cdot 2+1\cdot 2+2\cdot 5+3\cdot 6+4\cdot 11+5\cdot 6=0+2+10+18+44+30=104$$
2. Średnią arytmetyczną obliczamy, dzieląc sumę punktów przez liczbę uczniów ($32$):
   $$\frac{104}{32}=3,25$$

1. Z tabeli odczytujemy liczbę uczniów, którzy przeczytali daną liczbę książek:
   

   • $4$ książki – $5$ uczniów
   • $5$ książek – $8$ uczniów
   • $6$ książek – $12$ uczniów
   • $7$ książek – $13$ uczniów
   • $8$ książek – $12$ uczniów

   Łącznie:
   $$5+8+12+13+12=50$$
2. Obliczamy średnią arytmetyczną, mnożąc każdą liczbę książek przez liczbę uczniów, którzy ją przeczytali, i dzieląc przez liczbę wszystkich uczniów:
   $$\bar{x}=\frac{4\cdot 5+5\cdot 8+6\cdot 12+7\cdot 13+8\cdot 12}{50}=\frac{20+40+72+91+96}{50}=\frac{319}{50}=6,38$$
3. Uczniów jest $50$ (liczba parzysta), więc medianą jest średnia arytmetyczna wyniku na $25.$ i $26.$ miejscu w uporządkowanym ciągu. Szukamy, ile książek odpowiada tym miejscom, sumując liczebności narastająco:
   

   • $4$ książki – $5$ uczniów – suma $5$
   • $5$ książek – $8$ uczniów – suma $13$
   • $6$ książek – $12$ uczniów – suma $25$ – miejsce $25.$ jest tutaj
   • $7$ książek – $13$ uczniów – suma $38$ – miejsce $26.$ jest tutaj
   • $8$ książek – $12$ uczniów – suma $50$
4. Obliczamy medianę:
   $$\text{Me}=\frac{6+7}{2}=6,5$$

1. Liczba jest parzysta, więc jej ostatnia cyfra musi być parzysta. Spośród cyfr $2$, $4$, $7$ parzyste są tylko $2$ i $4$ — na ostatnią cyfrę mamy więc $2$ możliwości.
2. Na każdą z pozostałych trzech cyfr (tysięcy, setek, dziesiątek) możemy wstawić dowolną z trzech cyfr $2$, $4$, $7$ — po $3$ możliwości na każdą pozycję.
3. Ze reguły mnożenia obliczamy liczbę wszystkich takich liczb:
   $$3\cdot 3\cdot 3\cdot 2=54$$

1. Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary liczb $(x,y)$, gdzie $x\in C$ oraz $y\in D$. Korzystając z reguły mnożenia, liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
   $$|\Omega |=5\cdot 3=15$$
2. Wypisujemy pary, których suma jest większa od $9$: $(7,3)$, bo $7+3=10$; $(9,1)$, bo $9+1=10$; $(9,2)$, bo $9+2=11$; $(9,3)$, bo $9+3=12$. Zatem zdarzeniu $A$ sprzyjają $4$ pary:
   $$|A|=4$$
3. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{4}{15}$$

1. Z diagramu odczytujemy liczbę uczniów z poszczególnymi ocenami:
   

   • ocenę $1$ - $2$ osoby
   • ocenę $2$ - $7$ osób
   • ocenę $3$ - $4$ osoby
   • ocenę $4$ - $3$ osoby
   • ocenę $5$ - $6$ osób
   • ocenę $6$ - $4$ osoby

   Sprawdzian pisało łącznie:
   $$2+7+4+3+6+4=26$$
2. Liczba uczniów jest parzysta, więc medianą jest średnia arytmetyczna $13.$ i $14.$ wyniku w uporządkowanym ciągu ocen. Szukamy jakie oceny są na $13$ i $14$ miejscu.

   • ocenę $1$ - $2$ osoby - suma $2$
   • ocenę $2$ - $7$ osób - suma $9$
   • ocenę $3$ - $4$ osoby - suma $13$ - miejsce $13$ jest tutaj
   • ocenę $4$ - $3$ osoby - suma $16$ - miejsce $14$ jest tutaj
   • ocenę $5$ - $6$ osób
   • ocenę $6$ - $4$ osoby
3. Obliczamy medianę:
   $$\text{M}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

1. Zdarzeniami elementarnymi są pary liczb $(x,y)$, gdzie $x,y\in \{5,6,7,8,9\}$. Losowanie jest ze zwracaniem, więc liczbę wszystkich zdarzeń obliczamy z reguły mnożenia:
   $$|\Omega |=5\cdot 5=25$$
2. Suma dwóch liczb jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są parzyste albo obie są nieparzyste. W zbiorze $K$ są $3$ liczby nieparzyste ($5,7,9$) i $2$ liczby parzyste ($6,8$).
   Liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$ obliczamy z reguły mnożenia i reguły dodawania:
   $$|A|=3\cdot 3+2\cdot 2=13$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{13}{25}$$