Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Cyfry nieparzyste to $1,3,5,7,9$. Aby liczba trzycyfrowa o wszystkich cyfrach nieparzystych była większa od $500$, cyfra setek musi być nieparzysta i nie mniejsza niż $5$, czyli musi należeć do zbioru $\{5,7,9\}$ — daje to $3$ możliwości.
2. Cyfra dziesiątek i cyfra jedności mogą być dowolną z pięciu cyfr nieparzystych, więc mamy po $5$ możliwości dla każdej z nich. Korzystamy z reguły mnożenia:
   $$3\cdot 5\cdot 5=75$$

1. Zdarzeń elementarnych (par wyników dwóch rzutów) jest $6\cdot 6=36$, wszystkie jednakowo prawdopodobne.
2. Suma oczek równa $11$ zachodzi tylko dla par $(5,6)$ oraz $(6,5)$ — są to $2$ zdarzenia sprzyjające.
3. Obliczamy prawdopodobieństwo:
   $$P(A)=\frac{2}{36}$$

1. Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary liczb oczek $(x,y)$, gdzie $x,y\in \{1,2,3,4,5,6\}$, więc:
   $$|\Omega |=6\cdot 6=36$$
2. Szukamy liczb dwucyfrowych $\overline{xy}=10x+y$ nieparzystych (czyli $y\in \{1,3,5\}$) i jednocześnie podzielnych przez $3$ (czyli $x+y$ podzielne przez $3$). Sprawdzamy kolejno możliwe pary $(x,y)$:
   $$(2,1),(5,1),(3,3),(6,3),(1,5),(4,5)$$
3. Odpowiadają im liczby $21,51,33,63,15,45$ — wszystkie są nieparzyste i podzielne przez $3$. Zdarzeń sprzyjających jest zatem $6$:
   $$|A|=6$$
4. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

1. Z warunku zadania:
   $$\frac{a+b+c}{3}=12⟹a+b+c=36$$
2. Sumujemy sześć podanych liczb, wyłączając wspólny czynnik $5$:
   $$2a+3a+2b+3b+2c+3c=5a+5b+5c=5(a+b+c)=5\cdot 36=180$$
3. Średnią arytmetyczną otrzymujemy, dzieląc sumę przez liczbę składników, czyli $6$:
   $$\frac{180}{6}=30$$

1. Średnia arytmetyczna siedmiu liczb wynosi $3$, więc ich suma jest równa:
   $$1+2+3+4+5+x+y=7\cdot 3=21$$
2. Obliczamy sumę pierwszych pięciu liczb i wyznaczamy $x+y$:
   $$15+x+y=21⟹x+y=6$$

1. Odczytujemy z diagramu liczbę uczniów, którzy otrzymali każdą ocenę:
   

   • ocenę $1$ - $1$ uczeń
   • ocenę $2$ - $3$ uczniów
   • ocenę $3$ - $4$ uczniów
   • ocenę $4$ - $4$ uczniów
   • ocenę $5$ - $5$ uczniów
   • ocenę $6$ - $7$ uczniów

   Sprawdzian pisało łącznie:
   $$1+3+4+4+5+7=24$$
2. Liczba uczniów jest parzysta, więc medianą jest średnia arytmetyczna $12.$ i $13.$ wyniku w uporządkowanym ciągu ocen. Szukamy jakie oceny są na $12$ i $13$ miejscu.

   • ocenę $1$ - $1$ uczeń - suma $1$
   • ocenę $2$ - $3$ uczniów - suma $4$
   • ocenę $3$ - $4$ uczniów - suma $8$
   • ocenę $4$ - $4$ uczniów - suma $12$ - miejsce $12$ jest tutaj
   • ocenę $5$ - $5$ uczniów - suma $17$ - miejsce $13$ jest tutaj
   • ocenę $6$ - $7$ uczniów
3. Obliczamy medianę:
   $$\text{M}=\frac{4+5}{2}=4,5$$
4. Dominantą (modą) jest ocena występująca najczęściej — jest to ocena $6$, którą otrzymało najwięcej uczniów, czyli $7$.

1. Z diagramu odczytujemy liczbę samochodów z poszczególną liczbą wykrytych usterek:
   

   • $1$ usterka - $16$ samochodów
   • $2$ usterki - $10$ samochodów
   • $3$ usterki - $2$ samochody
   • $4$ usterki - $2$ samochody
   • $5$ usterek - $2$ samochody

   Łącznie przeglądom podlegało:
   $$16+10+2+2+2=32$$
2. Obliczamy średnią arytmetyczną liczby usterek:
   $$\bar{x}=\frac{16\cdot 1+10\cdot 2+2\cdot 3+2\cdot 4+2\cdot 5}{32}=\frac{60}{32}=1,875$$
3. Liczba przeglądów jest parzysta ($32$), więc medianą jest średnia arytmetyczna wyniku na $16.$ i $17.$ miejscu w uporządkowanym niemalejąco ciągu. Szukamy, ile usterek odpowiada tym miejscom.
   

   • $1$ usterka - $16$ samochodów - suma $16$ - miejsce $16.$ jest tutaj
   • $2$ usterki - $10$ samochodów - suma $26$ - miejsce $17.$ jest tutaj
   • $3$ usterki - $2$ samochody - suma $28$
   • $4$ usterki - $2$ samochody - suma $30$
   • $5$ usterek - $2$ samochody - suma $32$
4. Obliczamy medianę:
   $$M_e=\frac{1+2}{2}=1,5$$

1. Obliczamy średnią arytmetyczną liczby punktów: mnożymy każdy wynik przez liczbę uczniów, którzy go uzyskali, sumujemy i dzielimy przez $32$:
   $$\bar{x}=\frac{0\cdot 4+1\cdot 2+2\cdot 5+3\cdot 5+4\cdot 11+5\cdot 5}{32}=\frac{96}{32}=3$$
2. Wynik niższy od średniej ($3$) to $0$, $1$ lub $2$ punkty. Liczymy uczniów z takim wynikiem:
   $$4+2+5=11$$
3. Aby znaleźć medianę, ustawiamy wszystkie $32$ wyniki w kolejności niemalejącej i szukamy $16.$ oraz $17.$ wyrazu. Uczniów z wynikiem nie większym niż $2$ jest $4+2+5=11$, a z wynikiem nie większym niż $3$ jest $11+5=16$, więc $16.$ wyraz to $3$. Kolejny, $17.$ wyraz, należy już do grupy $11$ uczniów z wynikiem $4$, więc jest równy $4$:
4. Dominantą jest wynik, który wystąpił najczęściej — najliczniejsza jest grupa $11$ uczniów z wynikiem $4$ punkty, więc:
   $$Mo=4$$

1. Z diagramu odczytujemy liczby samochodów z daną liczbą usterek:
   

   • $1$ usterka - $16$ samochodów
   • $2$ usterki - $10$ samochodów
   • $3$ usterki - $6$ samochodów
   • $4$ usterki - $2$ samochody
   • $5$ usterek - $2$ samochody

   Łącznie zbadano:
   $$16+10+6+2+2=36$$
2. Dominantą jest wartość występująca najczęściej — najwięcej samochodów ($16$) miało dokładnie $1$ usterkę, więc dominanta jest równa $1$.
3. Obliczamy średnią arytmetyczną liczby usterek:
   $$\bar{x}=\frac{1\cdot 16+2\cdot 10+3\cdot 6+4\cdot 2+5\cdot 2}{36}=\frac{16+20+18+8+10}{36}=\frac{72}{36}=2$$
4. Samochodów z co najmniej dwiema usterkami jest $10+6+2+2=20$, a z dokładnie jedną usterką jest $16$. Obliczamy, jaki procent liczby $16$ stanowi liczba $20$:
   $$\frac{20}{16}\cdot 100\%=125\%$$