Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy $\cos \alpha$. Kąt jest ostry, więc $\cos \alpha$ jest dodatni.
   $$\begin{array}{rl}& {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ & {\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\\ & \cos \alpha =\frac{4}{5}\end{array}$$
2. Tangens to iloraz sinusa i cosinusa tego samego kąta.
   $$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}$$

1. Policzmy kilka pierwszych wyrazów. Wzór $a_{n+1}=a_n+2$ mówi, że każdy następny wyraz powstaje przez dodanie $2$ do poprzedniego:
   $$\begin{array}{rl}{a}_1& =5\\ a_2& =a_1+2=5+2=7\\ a_3& =a_2+2=7+2=9\\ a_4& =a_3+2=9+2=11\end{array}$$
2. Można zauważyć, że za każdym razem dodajemy tę samą liczbę $2$, więc różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała i wynosi $2$. Dokładnie tak zachowuje się ciąg arytmetyczny, dlatego $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie $a_1=5$ i różnicy $r=2$.
3. Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
   $$S_{100}=\frac{100}{2}\left(2a_1+99r\right)=50\left(10+198\right)=50\cdot 208=10400$$

1. Obliczamy, jaką część liczby wszystkich tulipanów stanowią razem czerwone i żółte tulipany:
   $$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{3+5}{15}=\frac{8}{15}$$
2. Pozostałą część, czyli udział białych tulipanów, obliczamy jako uzupełnienie do całości:
   $$1-\frac{8}{15}=\frac{15-8}{15}=\frac{7}{15}$$
3. Liczba białych tulipanów stanowi $\frac{7}{15}$ liczby wszystkich tulipanów na tym klombie.

1. Liczbę kartek czerwonych oznaczamy jako $x$. Wtedy kartek niebieskich jest $1,5x$, a kartek zielonych jest $x-10$.
2. Układamy równanie na podstawie łącznej liczby kartek ($160$):
   $$x+1,5x+(x-10)+37=160$$
3. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 3,5x=160-37+10\\ & 3,5x=133\\ & x=38\end{array}$$
4. Obliczamy liczbę kartek niebieskich:
   $$1,5\cdot 38=57$$

1. Upraszczamy wyrażenie pod pierwiastkami - zapisujemy $\sqrt{10}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}$ oraz $\sqrt{6}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$, a następnie skracamy wspólne czynniki:
   $$a=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{10}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}=2\sqrt{5}=\sqrt{20}$$
2. Szukamy dwóch kolejnych liczb naturalnych, między którymi leży $\sqrt{20}$ - sprawdzamy najbliższe kwadraty liczb całkowitych:
   $$\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}$$
3. Obliczamy pierwiastki liczb skrajnych:
   $$\sqrt{16}=4,\sqrt{25}=5$$
4. Zatem liczba $a=\sqrt{20}$ znajduje się na osi liczbowej między liczbami $4$ i $5$.

1. Oznaczmy iloraz ciągu geometrycznego przez $q$. Środkowy wyraz to $a_3=2$, więc:
   $$a_1=\frac{2}{q^2},a_2=\frac{2}{q},a_4=2q,a_5=2q^2$$
2. Mnożymy skrajne pary wyrazów, w każdej z nich czynniki $q$ się skracają:
   $$a_1\cdot a_5=\frac{2}{q^2}\cdot 2q^2=2^2,a_2\cdot a_4=\frac{2}{q}\cdot 2q=2^2$$
3. Cały iloczyn to zatem $2^2\cdot 2^2\cdot 2$, czyli piąta potęga środkowego wyrazu:
   $$a_1\cdot a_2\cdot 2\cdot a_4\cdot a_5=2^5=32$$

1. Zapisujemy wyrazy $a_6$ i $a_8$ za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu $q$:
   $$a_6=a_1{q}^5,a_8=a_1{q}^7$$
2. Podstawiamy do warunku zadania i dzielimy obie strony przez $a_1{q}^5$ (w ciągu geometrycznym $a_1\ne 0$ i $q\ne 0$, więc wolno):
3. Ciąg jest malejący. Iloraz ujemny dawałby ciąg naprzemienny (niemonotoniczny), więc odrzucamy $q=-\frac{1}{5}$. Pozostaje $q=\frac{1}{5}$, dla którego (przy dodatnim $a_1$) ciąg rzeczywiście maleje.