Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości H ostrosłupa oraz promienia R okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.
Wykaż, że objętość V każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości R promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
V(R)=43⋅(6R2−R3)
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
V(R)=43⋅(6R2−R3)
Przyjmujemy oznaczenia: A,B,C - wierzchołki podstawy ostrosłupa, a - długość krawędzi podstawy, R - promień okręgu opisanego na podstawie, H - wysokość ostrosłupa. Podstawa ABC jest trójkątem równobocznym, więc promień okręgu opisanego na niej wynosi R=3a3, skąd a=R3.
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x−812x−84 dla każdego x∈(−∞,8).
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie czworokąty OBCD, w których:
• wierzchołek O ma współrzędne (0,0) • wierzchołki B oraz D są punktami przecięcia wykresu funkcji f z osią - odpowiednio - Ox i Oy • wierzchołek C ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji f
(zobacz rysunek).
Wykaż, że pole P czworokąta OBCD w zależności od pierwszej współrzędnej x punktu C jest określone wzorem
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x−812x−84 dla każdego x∈(−∞,8).
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie czworokąty OBCD, w których:
• wierzchołek O ma współrzędne (0,0) • wierzchołki B oraz D są punktami przecięcia wykresu funkcji f z osią - odpowiednio - Ox i Oy • wierzchołek C ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji f
(zobacz rysunek).
Pole P czworokąta OBCD w zależności od pierwszej współrzędnej x punktu C jest określone wzorem
P(x)=421⋅x−8x2−56
dla x∈(0,7).
Oblicz współrzędne wierzchołka C, dla których pole czworokąta OBCD jest największe. Zapisz obliczenia.
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości H ostrosłupa oraz promienia R okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.
Objętość V ostrosłupa w zależności od długości R promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
V(R)=43⋅(6R2−R3)
dla R∈(0,6).
Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż 83.
Pole P powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
P(a)=2a2⋅3+a138243
dla a∈(0,83].
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
W chwili początkowej (t=0) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej t≥0 funkcja m(t) określa masę substancji w gramach po t pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).
Wyznacz wzór funkcji m(t). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama. Zapisz obliczenia.
Wśród n osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te n osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych n osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności).
Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 41.
Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.
Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe 0,1.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w okresie siedmiu dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.
Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu log92023=log39log32023 i obliczamy b:
Obliczamy różnicę:
a−b=2025−2=2023
m(t)=4⋅0,81t; po 5 dobach
Po każdej dobie zostaje 81% masy z dnia poprzedniego (ubywa 19%), więc kolejne masy m(0),m(1),m(2),… tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie 4 i ilorazie 0,81.
m(t)=4⋅0,81t
Sprawdzamy kolejne wartości funkcji, aż znajdziemy pierwszą liczbę całkowitą t, dla której masa spadnie poniżej 1,5 grama.
m(4)=4⋅0,814≈1,72>1,5m(5)=4⋅0,815≈1,39<1,5
Zatem masa substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama po pięciu dobach.
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.