Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 9

3 pkt

Spośród wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których wszystkie cyfry należą do zbioru

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

, losujemy jedną. Wylosowanie każdej z tych liczb jest jednakowo prawdopodobne.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę, która ma następującą własność: kolejne cyfry tej liczby (licząc od lewej strony) tworzą – w podanej kolejności – sześciowyrazowy ciąg malejący.

P (A) = \frac{7}{65536}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Zdarzeniem elementarnym jest sześciowyrazowy ciąg o wyrazach ze zbioru ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ . Każdą z 6 cyfr wybieramy na 8 sposobów, więc liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
$∣Ω∣ = 8^{6}$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

Zadanie 10 Ciągi

5 pkt

Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, spełniają warunek

a_{3} + a_{5} = 10

.

Trzywyrazowy ciąg

(2 a_{1} + 4, a_{4} - 1, - \frac{1}{8} a_{7})

jest geometryczny.

Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Trygonometria

5 pkt

Rozwiąż równanie

sin (4 x) - sin (2 x) = 4 cos^{2} x - 3

w zbiorze

[0, 2 π]

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

4 pkt

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa

a

. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy

\frac{11}{6}

.

Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria analityczna

5 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

środek

S

okręgu o promieniu

5

leży na prostej o równaniu

y = x + 1

. Przez punkt

A = (1, 2)

, którego odległość od punktu

S

jest większa od

5

, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –

B

i

C

. Pole czworokąta

A B S C

jest równe

15

.

Oblicz współrzędne punktu

S

. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria analityczna

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

3 x + y + 2 = 0

przecina parabolę o równaniu

y = x^{2} - 2 x - 8

w punktach

A

oraz

B

, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku

A B C D

. Wierzchołek

A

ma pierwszą współrzędną ujemną.

Wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = - \frac{1}{2} x + 1

i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu

C

od prostej zawierającej bok

A B

równoległoboku jest równa

\frac{9 10}{5}

.

Oblicz długość boku

B C

tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Równania

5 pkt

Funkcja kwadratowa

f

zmiennej rzeczywistej

x

jest określona wzorem

f (x) = x^{2} - 3 x - m^{2} + m + 3

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których funkcja

f

ma dwa różne miejsca zerowe

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

∣ x_{1}^{2} - x_{2}^{2} ∣ \leq 12

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Równania

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (3 m + 1) \cdot x + 2 m^{2} + m + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 3 \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdot (x_{1} + x_{2} - 3) \leq 3 m - 7

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (2 x) + cos (2 x) = 1 + sin x - cos x

w zbiorze

⟨ 0, 2 π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Równania

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(3 - m) \cdot x^{2} + (m + 1) \cdot x - (m + 1)^{2} = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} \cdot x_{2} + 7

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Trygonometria

5 pkt

W trójkącie ostrokątnym

A B C

miara kąta

B A C

jest dwa razy większa od miary kąta

A B C

. Punkt

D

jest środkiem boku

A B

. Niech

α

oznacza miarę kąta

A B C

, natomiast

β

- miarę kąta

A D C

(zobacz rysunek).

Oblicz

\frac{tg β}{sin ( 2 α )}

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Planimetria

4 pkt

Promień okręgu opisanego na trójkącie

A B C

jest równy

17

. Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok

A C

, a długości dwóch pozostałych boków są równe

∣ A B ∣ = 30

oraz

∣ B C ∣ = 17

. Oblicz miarę kąta

B A C

oraz długość boku

A C

tego trójkąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13.1 Funkcje

2 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{12 x - 84}{x - 8}

dla każdego

x \in (- \infty, 8)

.

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie czworokąty

O B C D

, w których:

• wierzchołek

O

ma współrzędne

(0, 0)

• wierzchołki

B

oraz

D

są punktami przecięcia wykresu funkcji

f

z osią - odpowiednio -

O x

i

O y

• wierzchołek

C

ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji

f

(zobacz rysunek).

Wykaż, że pole

P

czworokąta

O B C D

w zależności od pierwszej współrzędnej

x

punktu

C

jest określone wzorem

P (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{x ^{2} - 56}{x - 8}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości

3456

, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż

83

.

Wykaż, że pole

P

powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

P (a) = \frac{a ^{2} \cdot 3}{2} + \frac{13824 3}{a}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości

H

ostrosłupa oraz promienia

R

okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa

6

.

Wykaż, że objętość

V

każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości

R

promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

V (R) = \frac{3}{4} \cdot (6 R^{2} - R^{3})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki