Zbiór zadań

Znaleziono 276 zadań. Losuj z tych filtrów

Zadanie 106GraniceMatura rozszerzona grudzień 2024

4 pkt

Oblicz granicę

n \to + \infty lim \frac{1 + 3 + 5 + 7 + \dots + ( 2 n + 1 )}{( 2 n )}

gdzie

1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2 n + 1)

jest sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

2

Wyrazy sumy $1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2 n + 1)$ tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie $a_{1} = 1$ i różnicy $r = 2$ . Wyznaczamy liczbę wyrazów $k$ tej sumy z wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego:

Zadanie 107TrygonometriaMatura rozszerzona czerwiec 2024

4 pkt

W okrąg o promieniu

4

wpisano trójkąt

A B C

. Długość boku

A B

jest równa

6

. Bok

B C

ma długość

43

i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.

Oblicz długość boku

A C

trójkąta

A B C

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 108PlanimetriaMatura rozszerzona maj 2024

4 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta

A B C

jest dwa razy większa od miary kąta

B A C

.

Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek

∣ A C ∣^{2} = ∣ B C ∣^{2} + ∣ A B ∣ \cdot ∣ B C ∣

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 109PlanimetriaMatura rozszerzona maj 2024

4 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

o boku długości

a

. Punkt

E

jest środkiem boku

C D

. Przekątna

B D

dzieli trójkąt

A C E

na dwie figury:

A GF

oraz

C E F G

(zobacz rysunek).

Oblicz pola figur

A GF

oraz

C E F G

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 110TrygonometriaMatura rozszerzona czerwiec 2024

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (6 x) + 3 \cdot sin (5 x) + sin (4 x) = 0

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 111TrygonometriaMatura rozszerzona grudzień 2024

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin^{4} x = sin x \cdot cos x - cos^{4} x

w zbiorze

[- π, 2 π]

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 112TrygonometriaMatura rozszerzona maj 2024

5 pkt

Rozwiąż równanie

sin (4 x) - sin (2 x) = 4 cos^{2} x - 3

w zbiorze

[0, 2 π]

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 113Geometria przestrzennaMatura rozszerzona czerwiec 2024

4 pkt

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa

a

. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy

\frac{11}{6}

.

Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 114CiągiMatura rozszerzona grudzień 2024

5 pkt

Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, spełniają warunek

a_{3} + a_{5} = 10

.

Trzywyrazowy ciąg

(2 a_{1} + 4, a_{4} - 1, - \frac{1}{8} a_{7})

jest geometryczny.

Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 115Geometria analitycznaMatura rozszerzona maj 2024

5 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

środek

S

okręgu o promieniu

5

leży na prostej o równaniu

y = x + 1

. Przez punkt

A = (1, 2)

, którego odległość od punktu

S

jest większa od

5

, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –

B

C

. Pole czworokąta

A B S C

jest równe

15

.

Oblicz współrzędne punktu

S

. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 116Geometria analitycznaMatura rozszerzona czerwiec 2024

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

3 x + y + 2 = 0

przecina parabolę o równaniu

y = x^{2} - 2 x - 8

w punktach

A

oraz

B

, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku

A B C D

. Wierzchołek

A

ma pierwszą współrzędną ujemną.

Wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = - \frac{1}{2} x + 1

i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu

C

od prostej zawierającej bok

A B

równoległoboku jest równa

\frac{9 10}{5}

.

Oblicz długość boku

B C

tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 117RównaniaMatura rozszerzona grudzień 2024

5 pkt

Funkcja kwadratowa

f

zmiennej rzeczywistej

x

jest określona wzorem

f (x) = x^{2} - 3 x - m^{2} + m + 3

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których funkcja

f

ma dwa różne miejsca zerowe

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

∣ x_{1}^{2} - x_{2}^{2} ∣ \leq 12

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 118RównaniaMatura rozszerzona czerwiec 2024

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(3 - m) \cdot x^{2} + (m + 1) \cdot x - (m + 1)^{2} = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} \cdot x_{2} + 7

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 119RównaniaMatura rozszerzona maj 2024

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (3 m + 1) \cdot x + 2 m^{2} + m + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 3 \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdot (x_{1} + x_{2} - 3) \leq 3 m - 7

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 120TrygonometriaMatura rozszerzona grudzień 2024

5 pkt

W trójkącie ostrokątnym

A B C

miara kąta

B A C

jest dwa razy większa od miary kąta

A B C

. Punkt

D

jest środkiem boku

A B

. Niech

α

oznacza miarę kąta

A B C

, natomiast

β

- miarę kąta

A D C

(zobacz rysunek).

Oblicz

\frac{tg β}{sin ( 2 α )}

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź