Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Punkt $M$ jest środkiem przekątnej $AC$, więc odcinek $AM$ to połowa przekątnej kwadratu. Obliczamy jego długość:
   $$|AM|=\sqrt{(3-1{)}^2+(-5-3{)}^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$$
2. Cała przekątna kwadratu ma długość:
   $$d=2|AM|=4\sqrt{17}$$
3. Pole kwadratu o przekątnej $d$ liczymy ze wzoru $P=\frac{d^2}{2}$:
   $$P=\frac{{\left(4\sqrt{17}\right)}^2}{2}=\frac{16\cdot 17}{2}=\frac{272}{2}=136$$

1. Sześcian ma $8$ wierzchołków. Liczba sposobów wyboru dwóch z nich (liczba zdarzeń elementarnych):
   $$|\Omega |=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=\frac{8\cdot 7}{2}=28$$
2. Przekątna sześcianu łączy wierzchołek z wierzchołkiem do niego przeciwległym. Każdy z $8$ wierzchołków ma dokładnie jeden taki wierzchołek przeciwległy, więc liczba przekątnych sześcianu wynosi:
   $$|A|=\frac{8}{2}=4$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo:
   $$P(A)=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}$$

1. Liczba pięciocyfrowa ma postać $\overline{abcde}$. Pierwsza cyfra $a$ nie może być zerem, więc wybieramy ją na $9$ sposobów.
2. Środkowe cyfry $b,c,d$ mogą być dowolne (od $0$ do $9$), każdą wybieramy na $10$ sposobów, razem $10^3$.
3. Aby liczba była parzysta, ostatnia cyfra $e$ musi być parzysta: $0,2,4,6,8$ — to $5$ możliwości.
4. Mnożymy liczby możliwości dla poszczególnych cyfr.
   $$9\cdot 10^3\cdot 5=9\cdot 5\cdot 10^3$$

1. Stosunek kul białych do czerwonych wynosi $3:4$, więc na $3+4=7$ kul przypadają $3$ białe.
2. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej to stosunek liczby kul białych do wszystkich kul.
   $$P(A)=\frac{3}{7}$$

1. Liczba ma być większa od $700$, więc cyfra setek musi należeć do zbioru $\{7,8,9\}$ — każda taka liczba jest wtedy automatycznie większa od $700$. Na cyfrę setek mamy więc $3$ możliwości.
2. Na cyfrę dziesiątek zostaje $5$ z pozostałych cyfr (bez powtórzeń), a na cyfrę jedności $4$ cyfry. Z reguły mnożenia:
   $$3\cdot 5\cdot 4=60$$

1. Zapisujemy równanie na średnią arytmetyczną pięciu liczb.
   $$\frac{(5x+6)+(6x+7)+(7x+8)+(8x+9)+(9x+10)}{5}=8$$
2. Sumujemy wyrazy w liczniku i rozwiązujemy równanie.
   $$\begin{array}{rl}& \frac{35x+40}{5}=8\\ & 35x+40=40\\ & 35x=0\\ & x=0\end{array}$$

1. Ciąg ma $6$ wyrazów uporządkowanych niemalejąco, więc mediana to średnia arytmetyczna $3.$ i $4.$ wyrazu:
   $$\text{Me}=\frac{2x+(x+2)}{2}=4$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 2x+x+2=8\\ & 3x=6\\ & x=2\end{array}$$

1. Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę, aby otrzymać nierówność kwadratową w postaci ogólnej:
   $$\begin{array}{rl}{x}^2-5& \ge 4x\\ x^2-4x-5& \ge 0\end{array}$$
2. Obliczamy deltę trójmianu kwadratowego $x^2-4x-5$, gdzie $a=1$, $b=-4$, $c=-5$:
   $$\Delta =(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)=16+20=36$$
3. Pierwiastek z wyróżnika wynosi $\sqrt{36}=6$. Obliczamy miejsca zerowe trójmianu:
   $$x_1=\frac{4-6}{2}=-1,x_2=\frac{4+6}{2}=5$$
4. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, parabola ma ramiona skierowane w górę, więc szukamy zbioru $x$, dla których wykres funkcji leży nad osią $Ox$ lub na niej:
   
5. Zbiorem rozwiązań nierówności jest:
   $$x\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨5,+\infty )$$

1. Przenosimy $14$ na lewą stronę, aby otrzymać nierówność w postaci standardowej:
   $$x^2-5x-14\le 0$$
2. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $x^2-5x-14$:
   $$\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot (-14)=25+56=81$$
3. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu:
   $$x_1=\frac{5-9}{2}=-2,x_2=\frac{5+9}{2}=7$$
4. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Szukamy argumentów, dla których wartości funkcji są niedodatnie (wykres leży pod osią $Ox$ lub na niej) — to przedział między miejscami zerowymi, łącznie z ich końcami:
   
   
5. Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności:
   $$x\in [-2,7]$$

1. Funkcja liniowa ma postać $f(x)=ax+b$. Z warunku $f(0)=2$ wynika, że wyraz wolny $b=2$.
2. Obliczamy współczynnik kierunkowy $a$, korzystając z warunku $f(4)-f(2)=6$:
   $$\begin{array}{rl}& f(4)-f(2)=(4a+b)-(2a+b)=2a\\ & 2a=6\\ & a=3\end{array}$$
3. Zapisujemy wzór funkcji:
   $$f(x)=3x+2$$