Jak liczyć kąt między krawędzią a podstawą bryły?

Geometria przestrzenna

Stereometria: graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe. Pola powierzchni, objętości oraz kąty i przekroje, które trzeba najpierw zobaczyć w przestrzeni, a policzyć na płaskim trójkącie.

Ten dział to średnio 1,2 zadania i 4,4 pkt na arkuszu.

Zadanie 12.1 Geometria przestrzenna

2 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym

243

.

Wykaż, że objętość

V

graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy jest określona wzorem

V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

H = \frac{48 3 - a ^{2} 3}{6 a}

, więc

V (a) = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot H = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Oznaczmy wysokość graniastosłupa przez $H$ . Pole powierzchni całkowitej to dwie podstawy, czyli trójkąty równoboczne o boku $a$ , i trzy prostokątne ściany boczne o bokach $a$ i $H$ .
$243 = 2 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} + 3 a H$
2
Wyznaczamy $H$ , przenosząc pole podstaw na drugą stronę i dzieląc przez $3 a$ .
$3 a H = 243 - \frac{a ^{2} 3}{2} H = \frac{24 3 - \frac{a ^{2} 3}{2}}{3 a} = \frac{48 3 - a ^{2} 3}{6 a}$
3
Objętość to pole podstawy razy wysokość, więc wstawiamy wyznaczone $H$ .
$V (a) = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot H = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot \frac{48 3 - a ^{2} 3}{6 a}$
4
Skracamy ułamek i rozbijamy go na dwa składniki.
$V (a) = \frac{a ( 48 3 - a ^{2} 3 ) 3}{24} = \frac{a ( 144 - 3 a ^{2} )}{24} V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}$
5
Otrzymaliśmy wzór z treści zadania, co kończy dowód.

Lista zadań

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Objętość i pole powierzchni graniastosłupa oraz ostrosłupa
Walec, stożek i kula
Kąt między krawędzią a płaszczyzną podstawy
Kąt dwuścienny i przekroje brył
Odcinki w bryle wyznaczane z twierdzenia Pitagorasa

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Stereometria

Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych
Prosta $k$ przebija płaszczyznę w punkcie $P$ pod kątem ostrym. Prosta $l$ jest rzutem prostokątnym prostej $k$ na tę płaszczyznę. Prosta $m$ leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt $P$ . Wówczas prosta $m$ jest prostopadła do prostej $k$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m$ jest prostopadła do prostej $l$ .

Przyjmujemy oznaczenia:
$P_{c}$ – pole powierzchni całkowitej $V$ – objętość
$P_{b}$ – pole powierzchni bocznej $P_{p}$ – pole podstawy

Prostopadłościan

P_{c} = 2 (ab + b c + c a)

V = ab c

gdzie $a, b, c$ są długościami krawędzi prostopadłościanu.

Graniastosłup prosty

P_{b} = O_{b} \cdot h

V = P_{p} \cdot h

gdzie $O_{b}$ jest obwodem podstawy graniastosłupa,
natomiast $h$ – wysokością graniastosłupa.

Ostrosłup

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot h

gdzie $h$ jest wysokością ostrosłupa.

Walec

P_{b} = 2 π r h

P_{c} = 2 π r (r + h)

V = π r^{2} h

gdzie $h$ jest wysokością walca, $O$ – środkiem symetrii podstawy walca,
$r$ – promieniem podstawy walca.

Stożek

P_{b} = π r l

P_{c} = π r (r + l)

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

gdzie $r$ jest promieniem podstawy stożka, $h$ – jego wysokością, natomiast $l$ – tworzącą stożka. Punkt $O$ jest środkiem symetrii podstawy stożka.

Kula

P_{c} = 4 π r^{2}

V = \frac{4}{3} π r^{3}

gdzie $r$ jest promieniem kuli, natomiast $O$ – środkiem symetrii kuli.

Najczęstsze pytania

Trzeba znaleźć rzut krawędzi na płaszczyznę podstawy i rozpatrzyć trójkąt prostokątny zbudowany z krawędzi, jej rzutu i wysokości bryły. Kąt liczy się już zwykłą trygonometrią w tym trójkącie.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu geometria przestrzenna.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Stereometria

Najczęstsze pytania