Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Sprawdzamy, czy punkt $(-1,-3)$ spełnia równanie okręgu, podstawiając jego współrzędne:
   $$(-1-1{)}^2+(-3+2{)}^2=(-2{)}^2+(-1{)}^2=4+1=5$$
2. Lewa strona jest równa prawej stronie równania okręgu, więc punkt $(-1,-3)$ należy do okręgu $\mathcal{O}$ — stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Z równania okręgu $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5$ odczytujemy, że $r^2=5$, czyli $r=\sqrt{5}$, a nie $5$ — stwierdzenie jest fałszywe (F).

1. Z równania okręgu $\mathcal{O}$ odczytujemy jego środek $S=(1,-2)$ i promień $r=\sqrt{5}$.
2. W symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych każdy punkt $(x,y)$ przechodzi na punkt $(-x,-y)$, więc środek okręgu $\mathcal{K}$ ma współrzędne:
   $$S^{\prime }=(-1,2)$$
3. Promień okręgu nie zmienia się w symetrii środkowej, więc okrąg $\mathcal{K}$ jest określony równaniem:
   $$(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=5$$

1. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy mierzymy między wysokością ostrosłupa $H$ a apotemą podstawy $a_p$ (odległością środka kwadratu od środka krawędzi podstawy). Dla kwadratu o boku $4$ apotema wynosi połowę boku:
   $$a_p=\frac{4}{2}=2$$
2. W trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość $H$, apotemę $a_p$ i wysokość ściany bocznej zachodzi $\text{tg}\alpha =\frac{H}{a_p}$, stąd:

1. Ostrosłup prawidłowy o podstawie będącej $n$-kątem ma $n$ ścian bocznych oraz $1$ ścianę podstawy, czyli łącznie $n+1$ ścian. Z treści zadania:
   $$\begin{array}{rl}& n+1=12\\ & n=11\end{array}$$
2. Liczba wierzchołków ostrosłupa to $n$ wierzchołków podstawy plus $1$ wierzchołek ostrosłupa:
   $$n+1=11+1=12$$

1. Trzy kolejne liczby naturalne parzyste, z których największa jest równa $10$, to $6$, $8$ i $10$ — to długości krawędzi $a$, $b$, $c$ wychodzących z jednego wierzchołka.
2. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu liczymy ze wzoru $P=2(ab+bc+ac)$:
   $$\begin{array}{rl}& P=2(6\cdot 8+8\cdot 10+6\cdot 10)\\ & P=2(48+80+60)\\ & P=2\cdot 188=376\end{array}$$

1. Liczba ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego jest równa liczbie boków wielokąta w podstawie, więc podstawą jest $2024$-kąt.
2. Ostrosłup ma tyle samo krawędzi podstawy, co krawędzi bocznych, czyli łącznie $2n$ krawędzi, gdzie $n=2024$:
   $$2n=2\cdot 2024=4048$$

1. Trzy kolejne parzyste liczby naturalne, których największa jest równa $p$, to długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka:
   $$p-4,p-2,p$$
2. Objętość prostopadłościanu jest iloczynem długości tych trzech krawędzi:
   $$V=p(p-2)(p-4)$$
3. Mnożymy nawiasy $(p-2)(p-4)$, a następnie wynik przez $p$:
   $$\begin{array}{rl}& (p-2)(p-4)=p^2-6p+8\\ & V=p\left(p^2-6p+8\right)=p^3-6p^2+8p\end{array}$$

1. Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny o boku $a$. Jego pole wyraża się wzorem $P=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$. Korzystamy z danego pola podstawy, aby wyznaczyć $a$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2=15\sqrt{3}\\ & a^2=10\\ & a=\sqrt{10}\end{array}$$
2. Ściana boczna graniastosłupa prawidłowego jest prostokątem o bokach $a$ oraz $h$ (wysokość bryły). Obliczamy jej pole:
   $$P=a\cdot h=\sqrt{10}\cdot 6=6\sqrt{10}$$

1. Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego łączy wierzchołek podstawy dolnej z wierzchołkiem podstawy górnej leżącym po przeciwnej stronie sześciokąta (naprzeciwko, przez środek figury) - to ona ma największą długość spośród wszystkich odcinków łączących wierzchołki bryły.
2. Kątem nachylenia tej przekątnej do płaszczyzny podstawy jest kąt między nią a jej rzutem prostokątnym na podstawę, czyli między przekątną a najdłuższą przekątną sześciokąta (łączącą te same, przeciwległe wierzchołki podstawy dolnej). Taki układ - kąt przy wierzchołku podstawy, pomiędzy najdłuższą przekątną sześciokąta a odcinkiem biegnącym do przeciwległego wierzchołka górnej podstawy - przedstawia rysunek D.

1. Bryły podobne $F_1$ i $F_2$ mają skalę podobieństwa $k$ taką, że stosunek ich objętości jest równy $k^3$. Wyznaczamy $k$:
   $$\begin{array}{rl}& k^3=\frac{V_2}{V_1}=\frac{512}{64}=8\\ & k=2\end{array}$$
2. Stosunek pól powierzchni całkowitych brył podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa:
   $$\frac{P_2}{P_1}=k^2=2^2=4$$