Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Kąt wpisany $CDA$ jest oparty na łuku $AC$ przechodzącym przez punkt $B$ (bo wierzchołek $D$ leży po drugiej stronie okręgu). Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego.
   $$\text{miara łuku }AC\text{ (przez }B\text{)}=2\cdot 50°=100°$$
2. Kąt środkowy $COB$ wyznacza miarę łuku $CB$.
   $$\text{miara łuku }CB=30°$$
3. Łuk $AC$ (przez $B$) jest sumą łuków $AB$ i $BC$, więc miarę łuku $AB$ obliczamy przez odjęcie.
   $$\text{miara łuku }AB=100°-30°=70°$$
4. Kąt środkowy $BOA$ jest oparty na łuku $AB$, więc jego miara jest równa mierze tego łuku.
   $$\angle BOA=70°$$

1. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przyprostokątnej $AB$:
   $$\begin{array}{rl}|AB{|}^2& =|AC{|}^2-|BC{|}^2\\ |AB{|}^2& =(2\sqrt{10}{)}^2-2^2\\ |AB{|}^2& =40-4=36\\ |AB|& =6\end{array}$$
2. Sinus kąta $\gamma =\angle BCA$ to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ($AB$) do przeciwprostokątnej ($AC$):
   $$\sin \gamma =\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$

1. Odcinek $BD$ jest średnicą okręgu, więc z twierdzenia Talesa kąt wpisany $BAD$, oparty na tej średnicy, jest kątem prostym:
   $$|\angle BAD|=90°$$
2. W trójkącie $ABD$ znamy już dwa kąty, więc trzeci obliczamy z sumy kątów w trójkącie:
   $$|\angle ADB|=180°-90°-18°=72°$$
3. Kąty wpisane $ADB$ i $ACB$ są oparte na tym samym łuku $AB$ (niezawierającym punktów $C$ ani $D$), więc mają równą miarę:
   $$|\angle BCA|=|\angle ADB|=72°$$

1. Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat — oznaczamy długość jego boku jako $a$. Korzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa $V=a^2\cdot H$ i obliczamy $a$:
   $$\begin{array}{rl}& a^2=V:H\\ & a^2=567:7=81\\ & a=\sqrt{81}=9\text{cm}\end{array}$$
2. Obliczamy pole powierzchni całkowitej — sumę pól dwóch podstaw (kwadratów o boku $9$ cm) i pól czterech ścian bocznych (prostokątów $9\times 7$ cm):
   $$P_c=9\cdot 7\cdot 4+9^2\cdot 2=252+162=414{\text{cm}}^2$$

1. Środek okręgu wpisanego w trójkąt (incentrum) jest punktem równo oddalonym od wszystkich boków trójkąta, a takim punktem jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

1. Kąt wpisany $CDA$ jest oparty na łuku $AC$ nieprzechodzącym przez $D$, więc odpowiadający mu kąt środkowy $AOC$ (oparty na tym samym łuku) jest dwa razy większy:
   $$\angle AOC=2\cdot 50°=100°$$
2. Kąt $AOC$ składa się z kątów $AOB$ i $BOC$:
   $$\angle AOB+\angle BOC=100°$$
3. Podstawiamy $\angle BOC=30°$:
   $$\angle AOB=100°-30°=70°$$

1. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku $a$ wyraża się wzorem $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, stąd bok $a=R\sqrt{3}$.
   $$a=R\sqrt{3}$$
2. Podstawiamy promień $R=9\sqrt{3}$.
   $$a=9\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=9\cdot 3=27$$

1. Obliczamy długość boku kwadratu jako odległość punktów $A$ i $B$.
   $$|AB|=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(-3-1{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$
2. Obwód kwadratu to poczwórna długość boku.
   $$\text{Obw}=4\cdot 4\sqrt{2}=16\sqrt{2}$$

1. Ponieważ $k\parallel l$, trójkąty $ABC$ i $ADE$ są podobne (mają wspólny kąt przy wierzchołku $A$ oraz równe kąty odpowiadające przy przecięciu prostymi równoległymi).
2. Obliczamy długość odcinka $AD$:
   $$|AD|=|AB|+|BD|=6+2=8$$
3. Z podobieństwa trójkątów odpowiednie boki są proporcjonalne:
   $$\frac{|AB|}{|AD|}=\frac{|BC|}{|DE|}$$
4. Podstawiamy dane i wyznaczamy $|DE|$:
   $$\frac{6}{8}=\frac{4}{|DE|}⟹|DE|=\frac{4\cdot 8}{6}=\frac{16}{3}$$

1. Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty liczymy jako iloraz różnicy współrzędnych $y$ i różnicy współrzędnych $x$.
   $$\begin{array}{rl}& a=\frac{y_B-(-4)}{2-(-1)}\\ & 3=\frac{y_B+4}{3}\end{array}$$
2. Rozwiązujemy równanie względem $y_B$.
   $$\begin{array}{rl}& 9=y_B+4\\ & y_B=5\end{array}$$