W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości x metrów nieprzekraczającej 10 metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy 4 metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.
Wykaż, że pole P (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości x metrów jest określone wzorem
P(x)=x2−162x3
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Dowód – patrz rozwiązanie.
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B leży na dodatniej półosi Oy, wierzchołek A leży na dodatniej półosi Ox, natomiast bok AB jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K=(1,2).
Wykaż, że pole P trójkąta ABC w zależności od współczynnika kierunkowego a prostej AB jest określone wzorem
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B leży na dodatniej półosi Oy, wierzchołek A leży na dodatniej półosi Ox, natomiast bok AB jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K=(1,2).
Pole P trójkąta ABC w zależności od współczynnika kierunkowego a prostej AB jest określone wzorem
P(a)=2a−a2+4a−4
dla a<0.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną AB tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD ma objętość równą 363. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną γ, która:
• jest prostopadła do ściany bocznej CDS ostrosłupa • przechodzi przez środek K krawędzi AD oraz środek L krawędzi BC • przecina krawędź boczną CS w punkcie M oraz krawędź boczną DS w punkcie N • tworzy z płaszczyzną podstawy ABCD kąt o mierze 30°.
Przekrój KLMN wyznaczony przez płaszczyznę γ jest trapezem równoramiennym.
W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości x metrów nieprzekraczającej 10 metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy 4 metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.
Wykaż, że pole P (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości x metrów jest określone wzorem
W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości x metrów nieprzekraczającej 10 metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy 4 metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.
Pole P trójkątnego kwietnika o podstawie długości x metrów jest określone wzorem
P(x)=x2−162x3
dla każdego x∈(4,10⟩.
Wyznacz długość x podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
W układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B leży na dodatniej półosi Oy, wierzchołek A leży na dodatniej półosi Ox, natomiast bok AB jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K=(1,2).
Wykaż, że pole P trójkąta ABC w zależności od współczynnika kierunkowego a prostej AB jest określone wzorem
W układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B leży na dodatniej półosi Oy, wierzchołek A leży na dodatniej półosi Ox, natomiast bok AB jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K=(1,2).
Pole P trójkąta ABC w zależności od współczynnika kierunkowego a prostej AB jest określone wzorem
P(a)=2a−a2+4a−4
dla a<0.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną AB tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole.
Sklep AGD prowadzi sprzedaż wysyłkową pralek. Prawdopodobieństwo uszkodzenia podczas transportu pralki wysłanej przez ten sklep do klienta jest równe 0,02.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że spośród 10 pralek wysłanych dziesięciu klientom przez ten sklep co najwyżej jedna ulegnie uszkodzeniu podczas transportu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.
W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność N populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą
N(t)=N0⋅ktdlat≥0
gdzie: N0 – liczebność populacji w chwili t=0 rozpoczęcia obserwacji, k – stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji, t – czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili t=0 rozpoczęcia obserwacji.
W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa 10000, a po dwóch godzinach była równa 15625.
Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
x=43, najmniejsze pole P=123 m2
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Z warunków zadania N(0)=10000. Podstawiamy t=0 do wzoru, żeby wyznaczyć N0:
10000=N0⋅k0⟹N0=10000
Wiemy też, że N(2)=15625. Podstawiamy N0 oraz t=2 i rozwiązujemy równanie z niewiadomą k (odrzucamy rozwiązanie ujemne, bo k jest stałą dodatnią):
15625=10000⋅k2k2=1,5625k=1,25
Obliczamy stosunek liczebności populacji w chwili t+1 do liczebności w chwili t – ten stosunek mówi, ile razy (a więc o ile procent) zwiększa się liczebność w ciągu jednej godziny:
N(t)N(t+1)=N0⋅ktN0⋅kt+1=k=1,25
Ponieważ ten stosunek nie zależy od t, w ciągu każdej godziny liczebność populacji zwiększa się 1,25 raza, czyli rośnie o 25%.