Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Obliczamy licznik, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$:
   $$(\sqrt{3}-1{)}^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}$$
2. Obliczamy mianownik:
   $$2(\sqrt{3}-1)-2=2\sqrt{3}-2-2=2\sqrt{3}-4$$
3. Dzielimy licznik przez mianownik, wyłączając $2$ przed nawias:
   $$\frac{4-2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-4}=\frac{2(2-\sqrt{3})}{2(\sqrt{3}-2)}=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}=\frac{-(\sqrt{3}-2)}{\sqrt{3}-2}=-1$$

1. Współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc parabola ma ramiona skierowane w dół, a funkcja osiąga wartość największą w wierzchołku.
2. Wzór $f(x)=-x^2+4$ jest już w postaci kanonicznej bez przesunięcia w poziomie, więc wierzchołek ma współrzędne $(0,4)$. Największa wartość funkcji to $4$, a zbiorem wartości jest przedział:
   $$(-\infty ,4⟩$$

1. Obliczamy wartość funkcji dla $x=0$:
   $$f(0)=3^0-2=1-2=-1$$
2. Otrzymana wartość odpowiada punktowi $(0,-1)$, czyli odpowiedzi C.

1. Funkcja jest iloczynem dwóch czynników liniowych pomnożonym przez $-2$, więc parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej miejsca zerowe to $x=-1$ oraz $x=3$.
2. Wierzchołek paraboli (oś symetrii) znajduje się w połowie odległości między miejscami zerowymi:
   $$x=\frac{-1+3}{2}=1$$
3. Ponieważ ramiona są skierowane w dół, funkcja rośnie do wierzchołka i maleje od niego, czyli jest malejąca w przedziale $[1,+\infty )$.

1. Ramiona paraboli na rysunku są skierowane w dół, więc współczynnik przy $x^2$ musi być ujemny. Odrzucamy odpowiedzi A i C, w których ten współczynnik jest dodatni.
2. Zostają odpowiedzi B i D. Sprawdzamy miejsca zerowe funkcji $f(x)=-x^2+x+2$:
   $$\begin{array}{rl}-x^2+x+2& =0\\ x^2-x-2& =0\\ (x-2)(x+1)& =0\\ x& =2\text{lub}x=-1\end{array}$$
3. Ta funkcja ma miejsce zerowe $x=-1$, czyli jej wykres przecinałby oś $Ox$ także po lewej stronie zera. Na rysunku cała widoczna część paraboli leży dla dodatnich $x$, więc odpowiedź B odrzucamy.
4. Sprawdzamy miejsca zerowe funkcji $f(x)=-x^2+6x-7$:
   $$\begin{array}{rl}-x^2+6x-7& =0\\ x^2-6x+7& =0\\ x& =3\pm \sqrt{2}\end{array}$$
5. Oba miejsca zerowe są dodatnie ($x\approx 1,6$ oraz $x\approx 4,4$), co zgadza się z rysunkiem. Zatem szukanym wzorem funkcji jest $f(x)=-x^2+6x-7$.

1. W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
   $$(3x{)}^2=15\cdot \frac{5}{3}$$
2. Obliczamy i pierwiastkujemy:
   $$\begin{array}{rl}& 9x^2=25\\ & x^2=\frac{25}{9}\\ & x=\pm \frac{5}{3}\end{array}$$
3. Wszystkie wyrazy ciągu mają być dodatnie, więc $3x>0$, czyli $x=\frac{5}{3}$.

1. W ciągu arytmetycznym o różnicy $r$ zachodzi wzór $a_n=a_1+(n-1)r$, więc różnica dowolnych dwóch wyrazów zależy tylko od różnicy ich numerów:
   $$a_{24}-a_6=(24-6)\cdot r$$
2. Podstawiamy $r=2$:
   $$a_{24}-a_6=18\cdot 2=36$$

1. Szukane liczby tworzą ciąg arytmetyczny $2,4,6,\dots ,1000$ o pierwszym wyrazie $a_1=2$ i różnicy $r=2$.
2. Liczbę wyrazów $n$ wyznaczamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_n=a_1+(n-1)r$, podstawiając $a_n=1000$:
   $$\begin{array}{rl}1000& =2+(n-1)\cdot 2\\ 998& =(n-1)\cdot 2\\ n-1& =499\\ n& =500\end{array}$$
3. Sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczamy ze wzoru $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$. Podstawiamy $a_1=2$, $a_n=1000$, $n=500$:

1. Szukamy wyrazów niedodatnich, czyli rozwiązujemy nierówność kwadratową:
   $$3n^2-25n\le 0$$
2. Wyłączamy $n$ przed nawias i wyznaczamy miejsca zerowe:
   $$n(3n-25)=0⟹n=0\text{ lub }n=\frac{25}{3}$$
3. Współczynnik przy $n^2$ jest dodatni ($3>0$), więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Szukane wyrażenie jest niedodatnie (leży pod osią lub na niej) między miejscami zerowymi:
   $$0\le n\le \frac{25}{3}$$
4. Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, $n\ge 1$, a $\frac{25}{3}\approx 8,33$, warunek spełniają liczby:
   $$n\in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$$
5. Niedodatnich wyrazów ciągu jest zatem $8$.

1. W ciągu arytmetycznym wyraz $a_4$ jest średnią arytmetyczną wyrazów $a_3$ i $a_5$, bo $a_3=a_4-r$ oraz $a_5=a_4+r$:
   $$a_3+a_5=(a_4-r)+(a_4+r)=2a_4$$
2. Podstawiamy dany warunek i obliczamy $a_4$:
   $$2a_4=58⟹a_4=29$$

1. W ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich, więc:
   $$x^2=2\cdot 18=36$$
2. Stąd $x=6$ lub $x=-6$. Ciąg jest rosnący i zaczyna się od liczby dodatniej, więc $x$ musi być dodatnie:
   $$x=6$$

1. Z jedynki trygonometrycznej:
   $${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$
2. Podstawiamy $\sin \alpha =\frac{7}{25}$ i wyznaczamy ${\cos }^2\alpha$:
   $$\begin{array}{rl}& {\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{7}{25}\right)}^2\\ & {\cos }^2\alpha =1-\frac{49}{625}\\ & {\cos }^2\alpha =\frac{576}{625}\end{array}$$
3. Kąt $\alpha$ jest ostry, więc $\cos \alpha$ jest dodatni:
   $$\cos \alpha =\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}$$

1. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: $1-{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha$ oraz $1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$:
   $$\frac{\cos \alpha }{{\cos }^2\alpha }\cdot \frac{{\sin }^2\alpha }{\sin \alpha }$$
2. Upraszczamy ułamki:
   $$\frac{1}{\cos \alpha }\cdot \sin \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\text{tg}\alpha$$

1. Trójkąt $OAB$ jest równoramienny, bo $OA=OB$ (promienie okręgu). Kąt przy wierzchołku $O$ ma miarę $80°$, więc kąty przy podstawie są równe:
   $$\angle OAB=\angle OBA=\frac{180°-80°}{2}=50°$$
2. Prosta $k$ jest styczna do okręgu w punkcie $A$, więc promień $OA$ jest prostopadły do $k$:
   $$\angle OAC=90°$$
3. Kąt $BAC$ to różnica kąta $OAC$ i kąta $OAB$ (punkt $B$ leży wewnątrz kąta $OAC$):
   $$\angle BAC=\angle OAC-\angle OAB=90°-50°=40°$$