Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Stosunek losów wygrywających do przegrywających wynosi $2:7$, więc wszystkich części jest:
   $$2+7=9$$
2. Prawdopodobieństwo, że zakupiony los jest wygrywający:
   $$P=\frac{2}{9}$$

1. Korzystamy z definicji tangensa: skoro $\text{tg}\alpha =2$, to $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2$, czyli $\sin \alpha =2\cos \alpha$.
2. Podstawiamy ten związek do jedynki trygonometrycznej ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:
   $$(2\cos \alpha {)}^2+{\cos }^2\alpha =1$$
3. Upraszczamy i wyznaczamy ${\cos }^2\alpha$:
   $$\begin{array}{rl}& 5{\cos }^2\alpha =1\\ & {\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}\end{array}$$
4. Ponownie korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby obliczyć ${\sin }^2\alpha$:
   $$\begin{array}{rl}& {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ & {\sin }^2\alpha +\frac{1}{5}=1\\ & {\sin }^2\alpha =\frac{4}{5}\end{array}$$

1. Równanie ma sens liczbowy, gdy mianownik jest różny od zera, czyli dla $x\ne -2$. Mnożymy obie strony równania przez $(x+2)$:
   $$4=(x-1)(x+2)$$
2. Wymnażamy nawiasy po prawej stronie i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:
   $$\begin{array}{rl}& 4=x^2+x-2\\ & x^2+x-6=0\end{array}$$
3. Obliczamy wyróżnik trójmianu $x^2+x-6$:
   $$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot (-6)=1+24=25$$
4. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu:
   $$x_1=\frac{-1-5}{2}=-3,x_2=\frac{-1+5}{2}=2$$
5. Oba otrzymane rozwiązania są różne od $-2$, więc spełniają założenie i są rozwiązaniami danego równania.
   $$x=-3\text{lub}x=2$$

1. Obliczamy średnią liczbę wykiełkowanych nasion:
   $$\bar{x}=\frac{133+140+119+147+161}{5}=\frac{700}{5}=140$$
2. Wyznaczamy przedział określony przez jedno odchylenie standardowe od średniej:
   $$(\bar{x}-\sigma ,\bar{x}+\sigma )=(140-14,140+14)=(126,154)$$
3. Sprawdzamy, które donice mieszczą się w przedziale $(126,154)$:

   • I donica: $133\in (126,154)$ - tak
   • II donica: $140\in (126,154)$ - tak
   • III donica: $119\notin (126,154)$ - nie
   • IV donica: $147\in (126,154)$ - tak
   • V donica: $161\notin (126,154)$ - nie

   Numery donic spełniających warunek to: $I,II,IV$.

1. Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb $(a,b)$, gdzie $a,b\in M$. Ponieważ losowanie odbywa się ze zwracaniem, liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
   $$|\Omega |=9\cdot 9=81$$
2. Zdarzeniu $A$ sprzyjają te pary liczb ze zbioru $M$, których iloczyn wynosi $24$:
   $$(3,8),(4,6),(6,4),(8,3)$$
3. Zatem liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$ jest równa $|A|=4$.
4. Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ obliczamy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{4}{81}$$

1. Losowanie jest ze zwracaniem, więc liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:
   $$|\Omega |=5\cdot 5=25$$
2. Zbiór zawiera dwie liczby ujemne ($-5,-4$) i trzy liczby dodatnie ($1,2,3$). Iloczyn dwóch wylosowanych liczb jest ujemny, gdy jedna z nich jest ujemna, a druga dodatnia (w dowolnej kolejności losowania). Liczba takich par wynosi:
   $$|A|=2\cdot 3+3\cdot 2=6+6=12$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:
   $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{12}{25}$$

1. Zapisujemy liczbę $9$ jako potęgę liczby $3$: $9=3^2$.
2. Podstawiamy i stosujemy prawa działań na potęgach:
   $$\begin{array}{rl}& 9^{-10}\cdot 3^{19}=(3^2{)}^{-10}\cdot 3^{19}\\ & =3^{-20}\cdot 3^{19}\\ & =3^{-20+19}=3^{-1}\end{array}$$

1. Zamieniamy $100$ na potęgę o podstawie $10$:
   $$100^5=(10^2{)}^5=10^{10}$$
2. Zamieniamy $0,1$ na potęgę o podstawie $10$:
   $$(0,1{)}^{-6}=(10^{-1}{)}^{-6}=10^6$$
3. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki:
   $$10^{10}\cdot 10^6=10^{16}$$

1. Zapisujemy zależność między $78$ a liczbą $c$:
   $$1,5c=78$$
2. Wyznaczamy $c$:
   $$c=\frac{78}{1,5}=52$$