Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Przy kapitalizacji rocznej po $n$ latach kapitał początkowy mnożymy przez $(1+r{)}^n$, gdzie $r$ to roczna stopa procentowa. Tutaj $r=0,07$ i $n=2$:
   $$40000\cdot (1+0,07{)}^2=40000\cdot (1,07{)}^2$$

1. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$:
   $${\left(5-2\sqrt{3}\right)}^2=5^2-2\cdot 5\cdot 2\sqrt{3}+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2$$
2. Obliczamy poszczególne składniki i upraszczamy:
   $$25-20\sqrt{3}+4\cdot 3=25-20\sqrt{3}+12=37-20\sqrt{3}$$

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi $n{\log }_{a}b={\log }_a{b}^n$:
   $$\begin{array}{rl}& 4{\log }_{4}2={\log }_4{2}^4={\log }_{4}16\\ & 2{\log }_{4}8={\log }_4{8}^2={\log }_{4}64\end{array}$$
2. Sumę logarytmów o tej samej podstawie zamieniamy na logarytm iloczynu:
   $${\log }_{4}16+{\log }_{4}64={\log }_4(16\cdot 64)={\log }_{4}1024$$
3. Ponieważ $4^5=1024$, otrzymujemy:
   $${\log }_{4}1024=5$$

1. Łączna kwota zapłacona w hurtowni za $50$ par spodni po $x$ zł i $40$ marynarek po $y$ zł wynosi $8000$ zł:
   $$50x+40y=8000$$
2. Cena detaliczna spodni po doliczeniu marży $50\%$ to $1,5x$, a cena detaliczna marynarki po doliczeniu marży $20\%$ to $1,2y$. Ceny detaliczne są jednakowe:
   $$1,5x=1,2y$$
3. Otrzymujemy układ równań:
   $$\{\begin{array}{l}50x+40y=8000\\ 1,5x=1,2y\end{array}$$

1. Niech $c$ oznacza cenę działki przed obniżkami. Każda obniżka o $10\%$ oznacza pomnożenie aktualnej ceny przez $0,9$, więc po dwóch obniżkach otrzymujemy równanie:
   $$c\cdot 0,9\cdot 0,9=78732$$
2. Upraszczamy równanie:
   $$c\cdot 0,81=78732$$
3. Wyznaczamy $c$:
   $$c=\frac{78732}{0,81}=97200$$

1. Po pierwszej obniżce o $30\%$ cena stanowi $70\%$ ceny początkowej:
   $$0,7x$$
2. Po drugiej obniżce o $20\%$ (liczonej od nowej ceny) zostaje $80\%$ tej wartości:
   $$0,8\cdot 0,7x=0,56x$$

1. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika $(x-y)(x+y)$:
   $$\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y}=\frac{(x+y)+(x-y)}{(x-y)(x+y)}$$
2. Upraszczamy licznik i mianownik korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $a^2-b^2$:
   $$\frac{(x+y)+(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{2x}{x^2-y^2}$$

1. Liczba czterocyfrowa nie może zaczynać się od cyfry $0$, więc na pierwszym miejscu może stać jedna z $9$ cyfr ($1$–$9$).
2. Na drugim miejscu może stać dowolna z pozostałych $9$ cyfr (w tym $0$, bez cyfry użytej na pierwszym miejscu), na trzecim $8$ pozostałych cyfr, a na czwartym $7$ pozostałych cyfr:
   $$9\cdot 9\cdot 8\cdot 7$$

1. Wyłączamy wspólny czynnik $(x+1)$ przed nawias:
   $$5(x+1)-x^2(x+1)=(x+1)(5-x^2)=0$$
2. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero:
   $$\begin{array}{rl}& x+1=0⟹x=-1\\ & 5-x^2=0\\ & x^2=5\\ & x=\sqrt{5}\text{ lub }x=-\sqrt{5}\end{array}$$
3. Spośród podanych odpowiedzi rozwiązaniem równania jest liczba $-1$.

1. Korzystamy ze wzoru na potęgę o wykładniku będącym sumą: $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$:
   $$3^{2+\frac{1}{4}}=3^2\cdot 3^{\frac{1}{4}}$$
2. Potęgę o wykładniku $\frac{1}{4}$ zapisujemy jako pierwiastek czwartego stopnia:
   $$3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}$$
3. Zatem:
   $$3^{2+\frac{1}{4}}=3^2\cdot \sqrt[4]{3}$$

1. Dzielimy pierwsze równanie przez $11$, a drugie przez $22$:
   $$\begin{array}{rl}& x-y=\frac{1}{11}\\ & x+y=-\frac{1}{22}\end{array}$$
2. Dodajemy równania stronami, aby wyznaczyć $x_0$:
   $$\begin{array}{rl}& 2x=\frac{1}{11}-\frac{1}{22}=\frac{2}{22}-\frac{1}{22}=\frac{1}{22}\\ & x_0=\frac{1}{44}\end{array}$$
3. Odejmujemy równania stronami, aby wyznaczyć $y_0$:
   $$\begin{array}{rl}& 2y=-\frac{1}{22}-\frac{1}{11}=-\frac{1}{22}-\frac{2}{22}=-\frac{3}{22}\\ & y_0=-\frac{3}{44}\end{array}$$
4. Zatem $x_0=\frac{1}{44}>0$, a $y_0=-\frac{3}{44}<0$.

1. Zapisujemy $\sqrt{10}$ jako potęgę o wykładniku $\frac{1}{2}$ i korzystamy z własności logarytmu potęgi:
   $$f(\sqrt{10})=-\log \left(10^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\log 10=-\frac{1}{2}$$

1. Mnożymy obie strony przez $4$ (liczba dodatnia, znak nierówności się nie zmienia):
   $$8x-3>24x$$
2. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę:
   $$\begin{array}{rl}& -3>24x-8x\\ & -3>16x\end{array}$$
3. Dzielimy obie strony przez $16$ (liczba dodatnia, znak się nie zmienia):
   $$-\frac{3}{16}>x$$
4. Zatem zbiorem rozwiązań jest przedział:
   $$x\in \left(-\infty ,-\frac{3}{16}\right)$$

1. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero:
   $$\begin{array}{rl}& 2x-1=0⟹x=\frac{1}{2}\\ & 2x-2=0⟹x=1\\ & x+2=0⟹x=-2\end{array}$$
2. Obliczamy sumę rozwiązań:
   $$\frac{1}{2}+1+(-2)=-\frac{1}{2}$$