Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Wartości mniejsze od $-1$ funkcja $f$ przyjmuje wyłącznie na lewym fragmencie wykresu — wartości prawego fragmentu należą do przedziału $[1,3]$, więc są większe od $-1$.
2. Na lewym fragmencie funkcja jest stała i równa $-3$ dla $x$ od $-5$ do $-4$, a następnie rośnie od $-3$ do $-1$ dla $x$ od $-4$ do $-3$. Warunek $f(x)<-1$ jest więc spełniony dla wszystkich $x$ z dziedziny mniejszych od $-3$:
   $$x\in (-5,-3)$$
3. Punkt $x=-3$ odrzucamy, bo w nim $f(x)=-1$, więc nierówność ostra nie jest tam spełniona. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)<-1$ jest:
   $$x\in (-5,-3)$$

1. Wartość funkcji dla $x=0$ jest równa $f(0)=1$ niezależnie od współczynników $a$ i $b$ — na każdym z czterech rysunków krzywa przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,1)$.
2. Współczynnik $a<0$ oznacza, że parabola ma ramiona skierowane w dół — odrzucamy rysunki A i C, na których ramiona są skierowane w górę.
3. Oś symetrii paraboli wyznacza wzór $x=-\frac{b}{2a}$. Ponieważ $a<0$ i $b>0$, licznik $-b$ jest ujemny, a mianownik $2a$ też jest ujemny, więc:
4. Wierzchołek paraboli leży więc po prawej stronie osi $Oy$. Spośród wykresów z ramionami skierowanymi w dół (B i D) pasuje ten, na którym wierzchołek znajduje się na prawo od osi $Oy$ — czyli rysunek D.

1. Pierwszy wyraz ciągu to suma jednego początkowego wyrazu, czyli $S_1$:
   $$a_1=S_1=4\cdot (2^1-1)=4\cdot 1=4$$
2. Zgadza się to z pierwszym stwierdzeniem, więc jest ono prawdziwe (P).
3. Drugi wyraz obliczamy jako różnicę $S_2$ i $S_1$:
   $$\begin{array}{rl}{S}_2& =4\cdot (2^2-1)=4\cdot 3=12\\ a_2& =S_2-S_1=12-4=8\end{array}$$
4. Ponieważ $a_2=8\ne 12$, drugie stwierdzenie jest fałszywe (F). Odpowiedź: PF.

1. Wykres funkcji kwadratowej (parabola) jest symetryczny względem prostej pionowej przechodzącej przez wierzchołek, czyli względem prostej $x=3$. Oba miejsca zerowe leżą więc w takiej samej odległości od tej prostej. Obliczamy odległość znanego miejsca zerowego od osi symetrii:
   $$3-(-5)=8$$
2. Drugie miejsce zerowe leży w tej samej odległości po drugiej stronie osi symetrii:
   $$x_2=3+8=11$$

1. Odczytujemy z wykresu przebieg funkcji $f$: na przedziale $[-7,-5]$ funkcja jest stała (równa $4$), na przedziale $[-4,-1]$ również jest stała (równa $4$), na przedziale $[-1,4]$ funkcja maleje (od $4$ do $-1$), a na przedziale $[5,7]$ funkcja rośnie (od $1$ do $6$).
2. Jedynym przedziałem, w którym funkcja $f$ jest rosnąca, jest $[5,7]$.

1. Podstawiamy $n=4$ do wzoru ciągu:
   $$a_4=2^4\cdot (4+1)=16\cdot 5=80$$

1. Zbiór wartości $(-\infty ,2]$ jest ograniczony z góry, więc szukamy funkcji, których wykres to parabola skierowana ramionami w dół (współczynnik przy $x^2$ ujemny). Funkcje $B$, $D$ i $E$ mają współczynnik dodatni (parabola ramionami w górę), więc ich zbiór wartości jest ograniczony z dołu, a nie z góry, więc od razu je odrzucamy.
2. Funkcja $A(x)=-(x-3{)}^2+2$ jest już zapisana w postaci kanonicznej: jej wierzchołek to $(3,2)$, więc wartość maksymalna wynosi $2$, a zbiór wartości to:
   $$(-\infty ,2]$$
3. Funkcja $C(x)=-5(x-2{)}^2$ ma wierzchołek $(2,0)$, więc wartość maksymalna wynosi $0$, a zbiór wartości to $(-\infty ,0]$, a to nie jest szukany przedział.
4. Funkcję $F(x)=-2x^2+4x$ sprowadzamy do postaci kanonicznej:
   $$F(x)=-2x^2+4x=-2(x^2-2x)=-2(x-1{)}^2+2$$
5. Wierzchołek to $(1,2)$, więc wartość maksymalna wynosi $2$, a zbiór wartości to $(-\infty ,2]$, co pasuje. Zatem szukanymi funkcjami są $A$ oraz $F$.

1. W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
   $$12^2=(1-2a)\cdot 48$$
2. Obliczamy lewą stronę i rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}144& =48(1-2a)\\ 144& =48-96a\\ 96a& =48-144\\ 96a& =-96\\ a& =-1\end{array}$$

1. Podstawiamy do wzoru dane $m_0=200$ oraz $t=12$:
   $$m(12)=200\cdot (0,6{)}^{0,25\cdot 12}=200\cdot (0,6{)}^3$$
2. Obliczamy wartość potęgi i mnożymy:
   $$200\cdot (0,6{)}^3=200\cdot 0,216=43,2$$
3. Po $12$ godzinach w organizmie chorego pozostanie więc $43,2$ mg leku.

1. Podstawiamy $n=3$ do wzoru ciągu:
   $$a_3=(-1{)}^3\cdot \frac{3+1}{2}=-1\cdot \frac{4}{2}=-2$$

1. Szukamy wyrazów spełniających nierówność $a_n<10$, więc podstawiamy wzór ciągu:
   $$\frac{n-2}{3}<10$$
2. Rozwiązujemy nierówność:
   $$\begin{array}{rl}n-2& <30\\ n& <32\end{array}$$
3. Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną spełniającą $n\ge 1$, warunek $n<32$ spełniają liczby $n=1,2,\dots ,31$, czyli dokładnie $31$ wyrazów.