Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ dla $x=2a+b$ i $y=2a-b$:
   $$(2a+b{)}^2-(2a-b{)}^2=\left[(2a+b)-(2a-b)\right]\cdot \left[(2a+b)+(2a-b)\right]$$
2. Upraszczamy oba nawiasy:
   $$\begin{array}{rl}& (2a+b)-(2a-b)=2b\\ & (2a+b)+(2a-b)=4a\end{array}$$
3. Mnożymy otrzymane wyniki:
   $$2b\cdot 4a=8ab$$

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $17$:
   $$3(6-x)\le 51$$
2. Wymnażamy nawias:
   $$18-3x\le 51$$
3. Przenosimy wyrazy i dzielimy obie strony przez $-3$, zmieniając znak nierówności:
   $$\begin{array}{rl}-3x& \le 51-18\\ -3x& \le 33\\ x& \ge -11\end{array}$$
4. Zbiorem rozwiązań jest przedział $[-11,+\infty )$.

1. Zapisujemy równanie procentu składanego dla dwóch lat, gdzie $p$ to roczne oprocentowanie w procentach:
   $$60000\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2=67925,76$$
2. Dzielimy obie strony przez $60000$:
   $${\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2=\frac{67925,76}{60000}=1,132096$$
3. Pierwiastkujemy obie strony (oprocentowanie jest dodatnie):
   $$1+\frac{p}{100}=\sqrt{1,132096}=1,064$$
4. Wyznaczamy $p$:
   $$\frac{p}{100}=0,064⟹p=6,4$$

1. Dzielenie ułamków zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:
   $$\frac{x}{x^2-1}:\frac{3x^2}{x+1}=\frac{x}{x^2-1}\cdot \frac{x+1}{3x^2}$$
2. Rozkładamy mianownik $x^2-1$ na czynniki (wzór skróconego mnożenia):
   $$\frac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{x+1}{3x^2}$$
3. Skracamy czynnik $(x+1)$ w liczniku i mianowniku:
   $$\frac{x\cdot \bcancel{(x+1)}}{(x-1)\cdot \bcancel{(x+1)}\cdot 3x^2}=\frac{x}{3x^2(x-1)}$$
4. Zapisujemy $3x^2$ jako $3x\cdot x$ i skracamy $x$ w liczniku z jednym $x$ w mianowniku:
   $$\frac{\bcancel{x}}{3x\cdot \bcancel{x}\cdot (x-1)}=\frac{1}{3x(x-1)}$$
5. Mnożymy w mianowniku:
   $$\frac{1}{3x(x-1)}=\frac{1}{3x^2-3x}$$

1. Przenosimy wyraz z $x$ z prawej strony na lewą, dodając $x$ do obu stron:
   $$\begin{array}{rl}1-\frac{3}{2}x+x& <\frac{2}{3}\\ 1-\frac{1}{2}x& <\frac{2}{3}\end{array}$$
2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę:
   $$\begin{array}{rl}-\frac{1}{2}x& <\frac{2}{3}-1\\ -\frac{1}{2}x& <-\frac{1}{3}\end{array}$$
3. Dzielimy obie strony przez $-\frac{1}{2}$ (liczbę ujemną), zmieniając kierunek nierówności:
   $$x>\frac{2}{3}$$

1. Wyznaczamy dziedzinę — mianownik nie może być równy zero:
   $$2x+4\ne 0⟹x\ne -2$$
2. Licznik jest równy zero, gdy jeden z czynników jest zerem:
   $$x=0\text{lub}x+5=0\text{lub}2-x=0$$
3. Rozwiązujemy te równania:
   $$x=0,x=-5,x=2$$
4. Wszystkie trzy rozwiązania należą do dziedziny (żadne nie jest równe $-2$), więc równanie ma dokładnie trzy rozwiązania: $-5$, $0$ oraz $2$.

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $12$:
   $$\begin{array}{rl}& 3x-5<\frac{1}{3}\cdot 12\\ & 3x-5<4\end{array}$$
2. Rozwiązujemy nierówność liniową:
   $$\begin{array}{rl}3x& <9\\ x& <3\end{array}$$
3. Szukamy liczb całkowitych dodatnich spełniających $x<3$. Są to $x=1$ oraz $x=2$ — łącznie $2$ rozwiązania.

1. Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik musi być różny od zera. Mianownik zeruje się dla $x=-2$ oraz $x=3$, więc dziedziną równania jest zbiór liczb $x\ne -2$ i $x\ne 3$.
2. Przyrównujemy licznik do zera:
   $$x+1=0⟹x=-1$$
3. Liczba $x=-1$ należy do dziedziny, więc jest jedynym rozwiązaniem równania.

1. Mnożymy pierwsze równanie stronami przez $-4$:
   $$\begin{array}{rl}& -4(x-2y)=-4\cdot 3\\ & -4x+8y=-12\end{array}$$
2. Otrzymane równanie jest identyczne z drugim równaniem układu — oba równania opisują tę samą prostą. Oznacza to, że każda para $(x,y)$ spełniająca $x-2y=3$ spełnia też drugie równanie, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

1. Podstawiamy $x=-1$ oraz $y=6$ do obu równań układu:
   $$\begin{array}{rl}& a\cdot (-1)+3\cdot 6=20\\ & -1+b\cdot 6=5\end{array}$$
2. Upraszczamy oba równania:
   $$\begin{array}{rl}& -a+18=20\\ & 6b=6\end{array}$$
3. Wyznaczamy $a$ i $b$:
   $$\begin{array}{rl}& a=-2\\ & b=1\end{array}$$
4. Obliczamy wartość wyrażenia $a\cdot b$:
   $$a\cdot b=(-2)\cdot 1=-2$$

1. Pierwsza prosta na rysunku przecina oś $y$ w punkcie $(0,2)$ i jest malejąca (opada od lewej do prawej), więc jej współczynnik kierunkowy jest ujemny — pasuje do niej wzór $y=-x+2$.
2. Druga prosta przecina oś $y$ w punkcie $(0,-3)$ i jest rosnąca, bardziej stroma niż pierwsza — pasuje do niej wzór $y=2x-3$.
3. Taki układ prostych opisuje układ równań z odpowiedzi B.

1. Wyrażenia $\frac{x+3}{x-1}$ oraz $\frac{x}{2x-2}$ mają sens liczbowy, gdy ich mianowniki są różne od zera. Zapisujemy założenie:
   $$x\ne 1$$
2. Mnożymy obie strony równania przez $2(x-1)$, gdzie $x\ne 1$:
   $$2(x+3)=x$$
3. Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe:
   $$\begin{array}{rl}& 2x+6=x\\ & x=-6\end{array}$$
4. Liczba $-6$ spełnia założenie $x\ne 1$, więc rozwiązaniem równania jest $x=-6$.