Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Promień okręgu jest równy odległości między środkiem $S$ a punktem $P$ leżącym na okręgu. Obliczamy kwadrat promienia:
   $$r^2=(0-2{)}^2+(0-4{)}^2=4+16=20$$
2. Podstawiamy środek $S=(2,4)$ i wyznaczony promień do równania okręgu:
   $$(x-2{)}^2+(y-4{)}^2=20$$

1. Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:
   $$3-m=m+3$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 3-m=m+3\\ & -2m=0\\ & m=0\end{array}$$
3. Sprawdzamy, że dla $m=0$ proste mają różne wyrazy wolne ($5\ne -4$), więc rzeczywiście są dwiema różnymi równoległymi prostymi, a nie tą samą prostą.

1. Korzystamy ze wzoru na objętość walca.
   $$V=\pi r^{2}h$$
2. Podstawiamy dane wartości i wyznaczamy wysokość $h$.
   $$\begin{array}{rl}& 16{\pi }^2=\pi \cdot 2^2\cdot h\\ & 16{\pi }^2=4\pi h\\ & h=4\pi \end{array}$$

1. Niech $P_p$ oznacza pole podstawy, a $P_b$ pole powierzchni bocznej. Z treści zadania $P_b=4P_p$, a pole całkowite to suma obu pól:
   $$P_p+P_b=P_p+4P_p=5P_p$$
2. Ponieważ pole całkowite jest równe $20$, obliczamy pole podstawy:
   $$5P_p=20⟹P_p=4$$
3. Podstawa ostrosłupa prawidłowego czworokątnego to kwadrat, więc jeśli $a$ jest długością jego krawędzi:
   $$a^2=4⟹a=2$$

1. Odczytujemy z równania okręgu środek i promień: $\mathcal{O}$ ma środek $S=(1,-3)$ i promień $r=2$.
2. Odległość środka od osi $Ox$ to wartość bezwzględna współrzędnej $y$ środka:
   $$d(S,Ox)=|-3|=3>2=r$$
3. Skoro odległość środka od osi $Ox$ jest większa od promienia, okrąg nie ma punktów wspólnych z tą osią — stwierdzenie pierwsze jest prawdziwe (P).
4. Odległość środka od osi $Oy$ to wartość bezwzględna współrzędnej $x$ środka:
   $$d(S,Oy)=|1|=1<2=r$$
5. Skoro odległość środka od osi $Oy$ jest mniejsza od promienia, okrąg przecina tę oś w dokładnie dwóch punktach — stwierdzenie drugie jest prawdziwe (P).

1. Cyfry nieparzyste to $1,3,5,7,9$. Liczba jest trzycyfrowa i większa od $500$, więc cyfra setek musi być nieparzysta oraz nie mniejsza niż $5$ — pasują tylko $5$, $7$ i $9$, czyli $3$ możliwości.
2. Cyfra dziesiątek i cyfra jedności mogą być dowolną z $5$ cyfr nieparzystych, niezależnie od cyfry setek.
3. Korzystamy z reguły mnożenia, żeby policzyć wszystkie takie liczby.
   $$3\cdot 5\cdot 5=75$$

Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium

Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.

1. Bok sześcianu $a$ spełnia $a^3=729$, czyli $a=9$ (bo $9^3=729$).
2. Długość przekątnej sześcianu o boku $a$ wynosi $a\sqrt{3}$:
   $$d=9\sqrt{3}$$

1. Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym, po przeciwnych stronach osi. Wysokość, promień podstawy i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, w którym kąt między tworzącą a wysokością (osią stożka) jest równy połowie kąta rozwarcia, czyli $30°$.
2. Tworząca $l=6$ jest przeciwprostokątną tego trójkąta, więc wysokość obliczamy z definicji cosinusa:
   $$h=l\cos 30^{\circ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$

1. Liczba trzycyfrowa nieparzysta ma cyfrę jedności nieparzystą (ze zbioru $\{1,3,5,7,9\}$), więc na pewno różną od $0$. Cyfra setek też nie może być $0$, bo wtedy liczba miałaby mniej niż trzy cyfry. Zatem jedynym miejscem, gdzie może wystąpić cyfra $0$, jest cyfra dziesiątek.
2. Ponieważ szukamy liczb z dokładnie jednym zerem, cyfra dziesiątek musi być równa $0$.
3. Cyfrę setek wybieramy na $9$ sposobów (od $1$ do $9$), cyfrę dziesiątek na $1$ sposób (musi być $0$), a cyfrę jedności na $5$ sposobów (liczby nieparzyste). Z reguły mnożenia:
   $$9\cdot 1\cdot 5=45$$