Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego:
   $$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{-5}=-3$$
2. Wzór ogólny ciągu geometrycznego ma postać $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$, podstawiamy dane:
   $$a_n=-5\cdot (-3{)}^{n-1}$$
3. To odpowiada odpowiedzi A. Sprawdzamy, czy odpowiedź E jest z nią równoważna:
   $$\begin{array}{rl}5\cdot \frac{(-3{)}^n}{3}& =5\cdot \frac{(-3)\cdot (-3{)}^{n-1}}{3}\\ & =-5\cdot (-3{)}^{n-1}\end{array}$$
4. Otrzymujemy dokładnie ten sam wzór co w odpowiedzi A, więc poprawne są odpowiedzi A oraz E.

1. Czworokąt $ASBP$ jest rombem, więc kąty przy sąsiednich wierzchołkach sumują się do $180°$. Kąt $PAS=60°$, więc kąt przy wierzchołku $S$:
   $$\angle ASB=180°-60°=120°$$
2. Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu o środku $S$ i promieniu $6$, a kąt $ASB=120°$ jest kątem środkowym wycinka koła ograniczonego promieniami $SA$, $SB$ i łukiem $AB$ przechodzącym przez $P$: to właśnie zakreskowana na rysunku figura.
3. Pole wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym $\beta$:
   $$P=\frac{\beta }{360°}\cdot \pi r^2=\frac{120°}{360°}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{3}\cdot 36\pi =12\pi$$

1. Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika, korzystając z jedynki trygonometrycznej ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:
   $$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }$$
2. Porównujemy z danym równaniem:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{1}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }=\frac{64}{9}\\ & {\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =\frac{9}{64}\end{array}$$
3. Kąt $\alpha$ jest ostry, więc $\sin \alpha >0$ i $\cos \alpha >0$, zatem pierwiastkujemy obie strony bez zmiany znaku:
   $$\sin \alpha \cdot \cos \alpha =\sqrt{\frac{9}{64}}=\frac{3}{8}$$

1. Korzystamy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$: $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, stąd wyznaczamy bok:
   $$a=\frac{2h}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=12$$
2. Obliczamy pole ze wzoru $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$:
   $$P=\frac{12^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}$$

1. Trzy kąty środkowe wokół punktu $O$ sumują się do $360°$, więc obliczamy trzeci z nich:
   $$|\angle BOC|=360°-130°-110°=120°$$
2. Kąt wpisany $BAC$ jest oparty na tym samym łuku $BC$ co kąt środkowy $BOC$, a kąt wpisany jest o połowę mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku:
   $$|\angle BAC|=\frac{1}{2}\cdot 120°=60°$$

1. Pole równoległoboku o bokach $a$, $b$ i kącie $\alpha$ między nimi wyraża się wzorem $P=a\cdot b\cdot \sin \alpha$. Podstawiamy dane:
   $$P=6\cdot 10\cdot \sin 120°=60\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$$

1. Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc ma wzór $y=kx$.
2. Podstawiamy współrzędne punktu $A$, aby wyznaczyć $k$:
   $$6=k\cdot (-2)⟹k=-3$$
3. Podstawiamy $k$ i pierwszą współrzędną punktu $B$:
   $$b=k\cdot 3=-3\cdot 3=-9$$

1. Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$:
   $$\frac{2}{3}\cdot (2m-1)=-1$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 2m-1=-\frac{3}{2}\\ & 2m=-\frac{1}{2}\\ & m=-\frac{1}{4}\end{array}$$

1. Promień koła jest równy długości boku kwadratu, czyli $8$. Ponieważ kąt $DAB$ kwadratu jest prosty, a $|AD|=|AB|=8$ jest równe promieniowi, okrąg przechodzi dokładnie przez wierzchołki $D$ i $B$. Częścią wspólną koła i kwadratu jest więc ćwiartka koła o promieniu $8$, ograniczona bokami $AD$, $AB$ i łukiem $DB$.
2. Pole ćwiartki koła o promieniu $r=8$ obliczamy ze wzoru:
   $$P=\frac{1}{4}\pi r^2=\frac{1}{4}\pi \cdot 8^2=16\pi$$