Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 43

1 pkt

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z

30

kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę

L

obsługiwanych klientów

n

-tego dnia opisuje funkcja

L (n) = - n^{2} + 22 n + 279

gdzie

n

jest liczbą naturalną spełniającą warunki

n \geq 1

i

n \leq 30

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa $L (30)$ .
W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono $336$ klientów.

FP

1
Łączna liczba klientów obsłużonych w ciągu wszystkich $30$ dni to suma wartości funkcji dla każdego dnia z osobna: $L (1) + L (2) + \dots + L (30)$ , a nie sama wartość $L (30)$ , czyli liczba klientów tylko w ostatnim, trzydziestym dniu. Te dwie wielkości są różne, więc stwierdzenie jest fałszywe (F).
2
Sprawdzamy drugie stwierdzenie, obliczając wartość funkcji dla $n = 3$ :

Zadanie 31.2 Funkcja kwadratowa

2 pkt

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z

30

kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę

L

obsługiwanych klientów

n

-tego dnia opisuje funkcja

L (n) = - n^{2} + 22 n + 279

gdzie

n

jest liczbą naturalną spełniającą warunki

n \geq 1

i

n \leq 30

.

Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej

y

takiej, że

x > 2 y

, prawdziwa jest nierówność

x^{2} + 3 x y - 10 y^{2} > 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} + y^{2} + 5 > 2 x + 4 y

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej liczby rzeczywistej

b

takiej, że

b \neq = a

, prawdziwa jest nierówność

a^{2} + 3 b^{2} + 4 > 2 a + 6 b

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Prawdopodobieństwo

2 pkt

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych – od

1

do

8

– losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie.
Niech

A

oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby

8

.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 32 Statystyka

1 pkt

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa

Zadanie 33 Funkcja kwadratowa

2 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

A = (0, 3)

. Punkt

B = (2, 0)

leży na wykresie funkcji

f

.
Wyznacz wzór funkcji

f

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Funkcja kwadratowa

4 pkt

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po

196

złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

przychód $P$ (w złotych) ze sprzedaży $x$ krzeseł można opisać funkcją $P (x) = 196 x$
koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ krzeseł dziennie można opisać funkcją

$K (x) = 4 x^{2} + 4 x + 240$

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej

30

krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.
Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Funkcja kwadratowa

4 pkt

Działka ma kształt trapezu. Podstawy

A B

i

C D

tego trapezu mają długości

∣ A B ∣ = 400

m oraz

∣ C D ∣ = 100

m. Wysokość trapezu jest równa

75

m, a jego kąty

D A B

i

A B C

są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie

A B

tego trapezu, a dwa pozostałe –

E

oraz

F

– na ramionach

A D

i

B C

trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.
Zapisz obliczenia.

Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu

A B C D

jest sumą pól trapezów

A B F E

oraz

E F C D

:

P_{A B C D} = P_{A B F E} + P_{E F C D}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Równania

2 pkt

Rozwiąż równanie

\frac{2 x - 3}{3 x - 2} = \frac{1}{2 x}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Planimetria

2 pkt

W trójkącie prostokątnym równoramiennym

A B C

o przeciwprostokątnej

B C

punkt

D

jest środkiem ramienia

A B

. Odcinek

C D

ma długość

5

(zobacz rysunek).

Oblicz obwód trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Geometria analityczna

2 pkt

W kwadracie

A B C D

punkty

A = (- 8, - 2)

oraz

C = (0, 4)

są końcami przekątnej.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną

B D

tego kwadratu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 36 Geometria analityczna

5 pkt

W trapezie równoramiennym

A B C D

podstawa

C D

ma długość

5

. Punkt

F = (3, 11)

jest środkiem odcinka

C D

. Prosta o równaniu

y = - \frac{4}{3} x + 15

jest osią symetrii tego trapezu oraz

B = (\frac{23}{2}, 8)

.
Oblicz współrzędne wierzchołka

A

oraz pole tego trapezu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 36 Geometria przestrzenna

5 pkt

Podstawą graniastosłupa prostego

A B C D E F

jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

,

∣ A B ∣ = 8

. Wysokość trójkąta

A B C

, poprowadzona z wierzchołka

C

, ma długość

3

. Przekątna

C E

ściany bocznej tworzy z krawędzią

C B

podstawy

A B C

kąt

60°

(zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki