Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to $f(x)=a(x-p{)}^2+q$, gdzie $(p,q)$ to współrzędne wierzchołka, a współczynnik $a$ jest taki sam jak w postaci ogólnej.
2. Podstawiamy $a=3$ oraz $p=-3$, $q=2$ (bo $W=(-3,2)$):
   $$f(x)=3(x-(-3){)}^2+2=3(x+3{)}^2+2$$

1. Dziedziną funkcji $f$ jest przedział $⟨-2,5)$. Wzór $g(x)=f(x-1)$ oznacza przesunięcie wykresu $f$ o $1$ w prawo, więc argument $x-1$ musi należeć do dziedziny $f$:
   $$\begin{array}{rl}& x-1\in ⟨-2,5)\\ & x\in ⟨-1,6)\end{array}$$

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $6$ (wspólny mianownik), aby pozbyć się ułamków:
   $$6\left(2-\frac{x}{2}\right)\ge 6\left(\frac{x}{3}-3\right)$$
2. Wymnażamy:
   $$12-3x\ge 2x-18$$
3. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę:
   $$\begin{array}{rl}12+18& \ge 2x+3x\\ 30& \ge 5x\\ 6& \ge x\end{array}$$
4. Rozwiązaniem nierówności jest $x\le 6$. Największą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest $6$.

1. Sprawdzamy, czy $10$ jest wyrazem ciągu $(a_n)$:
   $$3n=10⟹n=\frac{10}{3}$$
2. Liczba $n=\frac{10}{3}$ nie jest liczbą naturalną, więc $10$ nie jest wyrazem ciągu $(a_n)$.
3. Sprawdzamy, czy $10$ jest wyrazem ciągu $(b_n)$:
   $$4n-2=10⟹n=3$$
4. Liczba $n=3$ jest liczbą naturalną, więc $10$ jest wyrazem ciągu $(b_n)$.

1. Upraszczamy wzór ciągu, dzieląc licznik przez $n$:
   $$a_n=\frac{2n^2-30n}{n}=2n-30$$
2. Podstawiamy $n=7$:
   $$a_7=2\cdot 7-30=14-30=-16$$

1. Iloraz ciągu wynosi $q=2$, a drugi wyraz $a_2=2$. Wyznaczamy pierwszy wyraz:
   $$\begin{array}{rl}& a_2=a_1\cdot q\\ & 2=a_1\cdot 2\\ & a_1=1\end{array}$$
2. Sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru $S_5=a_1\cdot \frac{q^5-1}{q-1}$:

1. Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $a_{10}=a_5+5r$, gdzie $r$ to różnica ciągu.
   $$a_{10}-a_5=5r$$
2. Podstawiamy dane wartości i wyznaczamy różnicę:
   $$\begin{array}{rl}& -66-(-31)=5r\\ & -35=5r\\ & r=-7\end{array}$$

1. Sprawdzamy monotoniczność ciągu, obliczając różnicę kolejnych wyrazów:
   $$\begin{array}{rl}{a}_{n+1}-a_n& =2(n+1{)}^2+(n+1)-\left(2n^2+n\right)\\ & =4n+3\end{array}$$
2. Dla $n\ge 1$ różnica $4n+3>0$, więc ciąg $(a_n)$ jest rosnący, a nie malejący — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Obliczamy ósmy wyraz ciągu:
   $$a_8=2\cdot 8^2+8=2\cdot 64+8=136$$
4. Otrzymana wartość zgadza się z podaną w treści — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).

1. Wyrażamy $a_5$ przez $a_3$ i iloraz $q$:
   $$a_5=a_3\cdot q^2$$
2. Podstawiamy do równania $9a_5=4a_3$ i dzielimy obie strony przez $a_3$ (wyraz dodatni, więc $a_3\ne 0$):
3. Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc iloraz musi być dodatni:
   $$q=\frac{2}{3}$$

1. Obliczamy, ile guzików produkuje jedna maszyna w ciągu jednej godziny:
   $$\frac{1200}{3\cdot 2}=200$$
2. Pięć maszyn w ciągu jednej godziny wyprodukuje:
   $$5\cdot 200=1000$$

1. Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę $r$ między kolejnymi wyrazami. Obliczamy ją z pierwszych dwóch wyrazów:
   $$r=\frac{1}{2}-(-3)=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}$$
2. Trzeci wyraz ciągu to $x$:
   $$x=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}=4$$
3. Czwarty wyraz ciągu to $y$:
   $$y=x+\frac{7}{2}=4+\frac{7}{2}=\frac{15}{2}$$
4. Sprawdzamy, czy piąty wyraz się zgadza:
   $$y+\frac{7}{2}=\frac{15}{2}+\frac{7}{2}=11$$

1. Trójkąt $ABC$ jest prostokątny, z przyprostokątnymi $AC$ i $BC$ oraz przeciwprostokątną $AB$. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość drugiej przyprostokątnej $BC$:
   $$BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=\sqrt{{\left(3\sqrt{5}\right)}^2-6^2}=\sqrt{45-36}=\sqrt{9}=3$$
2. Tangens kąta $CAB$ to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ($BC$) do przyprostokątnej przyległej ($AC$):
   $$\tan (\angle CAB)=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

1. Wyrażenie ma postać wzoru na sinus sumy kątów: $\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )$.
2. Podstawiamy $\alpha =12°$, $\beta =78°$:
   $$\cos 12°\cdot \sin 78°+\sin 12°\cdot \cos 78°=\sin (12°+78°)=\sin 90°$$
3. Obliczamy:
   $$\sin 90°=1$$