Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Obliczamy długość przekątnej $AC$ ze wzoru na odległość dwóch punktów:
   $$|AC|=\sqrt{(3-(-1){)}^2+(-3-5{)}^2}=\sqrt{4^2+(-8{)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$$
2. Pole kwadratu o przekątnej $d$ wyraża się wzorem $P=\frac{d^2}{2}$. Podstawiamy:
   $$P=\frac{(4\sqrt{5}{)}^2}{2}=\frac{80}{2}=40$$

1. Skoro $|AP|:|PB|=1:3$, punkt $P$ dzieli odcinek $AB$ tak, że $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$, czyli $P=A+\frac{1}{4}(B-A)$. Przekształcając to równanie, otrzymujemy:
   $$B=4P-3A$$
2. Obliczamy współrzędne punktu $B$:
   $$\begin{array}{rl}& B_x=4\cdot 3-3\cdot 1=12-3=9\\ & B_y=4\cdot 1-3\cdot 7=4-21=-17\end{array}$$
3. Zatem punkt $B$ ma współrzędne $(9,-17)$ — odpowiedź B.

1. Liczba jest pięciocyfrowa, więc pierwsza cyfra nie może być $0$ — może być $5$ albo $7$, czyli mamy $2$ możliwości na pierwszym miejscu.
2. Na każdym z pozostałych czterech miejsc może stać dowolna z trzech cyfr: $0$, $5$ lub $7$, czyli $3$ możliwości na każdym z $4$ miejsc.
3. Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb pięciocyfrowych jest równa:
   $$2\cdot 3^4$$

1. Punkt $S$ jest środkiem symetrii równoległoboku, czyli jest środkiem przekątnej $AC$. Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:
   $$S=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)$$
2. Podstawiamy współrzędne punktów $A=(-1,-4)$ i $S=(2,2)$ i wyznaczamy $x_C$:
   $$\begin{array}{rl}& 2=\frac{-1+x_C}{2}\\ & 4=-1+x_C\\ & x_C=5\end{array}$$
3. Analogicznie wyznaczamy $y_C$:
   $$\begin{array}{rl}& 2=\frac{-4+y_C}{2}\\ & 4=-4+y_C\\ & y_C=8\end{array}$$
4. Otrzymujemy $C=(5,8)$. Obliczamy długość odcinka $AC$ ze wzoru na odległość dwóch punktów:
   $$\begin{array}{rl}& |AC|=\sqrt{(x_C-x_A{)}^2+(y_C-y_A{)}^2}\\ & |AC|=\sqrt{(5-(-1){)}^2+(8-(-4){)}^2}\\ & |AC|=\sqrt{6^2+12^2}\\ & |AC|=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\end{array}$$

1. Iloczyn dwóch liczb jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Wśród liczb oczek $1$–$6$ nieparzyste są $1,3,5$, czyli $3$ z $6$ możliwych wyników — prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby nieparzystej w jednym rzucie wynosi $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
2. Oba rzuty są niezależne, więc mnożymy prawdopodobieństwa:
   $$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$

1. Z wykresu odczytujemy liczbę jabłek o poszczególnych masach:
   

   • $17$ dag - $2$ jabłka
   • $18$ dag - $6$ jabłek
   • $19$ dag - $8$ jabłek
   • $20$ dag - $17$ jabłek
   • $21$ dag - $11$ jabłek
   • $22$ dag - $3$ jabłka
   • $23$ dag - $3$ jabłka

   Sprawdzamy, że łącznie jest to $50$ jabłek:
   $$2+6+8+17+11+3+3=50$$
2. Normę jakości spełniają jabłka o masie $19$, $20$ lub $21$ dag. Liczba takich jabłek:
   $$8+17+11=36$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo w modelu klasycznym i skracamy ułamek:
   $$P=\frac{36}{50}=\frac{18}{25}$$

1. Z diagramu odczytujemy liczbę sklepów dla poszczególnych cen:
   

   • cena $5,05$ zł - $2$ sklepy
   • cena $5,60$ zł - $4$ sklepy
   • cena $5,70$ zł - $2$ sklepy
   • cena $6,00$ zł - $5$ sklepów
   • cena $6,30$ zł - $3$ sklepy

   Łącznie zbadano sklepów:
   $$2+4+2+5+3=16$$
2. Liczba sklepów jest parzysta, więc medianą jest średnia arytmetyczna $8.$ i $9.$ ceny w uporządkowanym rosnąco ciągu cen. Szukamy, jakie ceny są na $8.$ i $9.$ miejscu.

   • cena $5,05$ zł - $2$ sklepy - suma $2$
   • cena $5,60$ zł - $4$ sklepy - suma $6$
   • cena $5,70$ zł - $2$ sklepy - suma $8$ - miejsce $8$ jest tutaj
   • cena $6,00$ zł - $5$ sklepów - suma $13$ - miejsce $9$ jest tutaj
   • cena $6,30$ zł - $3$ sklepy
3. Obliczamy medianę:
   $$\text{M}=\frac{5,70+6,00}{2}=5,85$$

1. 
   Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny o boku $a=6$. Pole sześciokąta foremnego obliczamy ze wzoru:
   $$P_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$$
2. Podstawiamy $a=6$:
   $$P_6=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 36=54\sqrt{3}$$
3. Graniastosłup prawidłowy ma dwie takie podstawy oraz ściany boczne będące prostokątami. Wysokość graniastosłupa jest równa długości krawędzi bocznej, czyli $6$. Obliczamy pole powierzchni bocznej jako obwód podstawy razy wysokość:
   $$P_b=6a\cdot h=6\cdot 6\cdot 6=216$$
4. Pole powierzchni całkowitej to suma pola powierzchni bocznej i pól obu podstaw:
   $$P_c=216+2\cdot 54\sqrt{3}=216+108\sqrt{3}$$

1. Z diagramu odczytujemy liczbę sklepów dla poszczególnych cen:
   

   • cena $5,05$ zł - $2$ sklepy
   • cena $5,60$ zł - $4$ sklepy
   • cena $5,70$ zł - $2$ sklepy
   • cena $6,00$ zł - $5$ sklepów
   • cena $6,30$ zł - $3$ sklepy

   Łącznie zbadano sklepów:
   $$2+4+2+5+3=16$$
2. Obliczamy średnią arytmetyczną: mnożymy każdą cenę przez liczbę sklepów, które ją zaoferowały, sumujemy i dzielimy przez łączną liczbę sklepów:
   $$\bar{x}=\frac{5,05\cdot 2+5,60\cdot 4+5,70\cdot 2+6,00\cdot 5+6,30\cdot 3}{16}=\frac{92,80}{16}=5,80$$

1. Z wykresu odczytujemy liczbę jabłek o poszczególnych masach:
   

   • $17$ dag - $2$ jabłka
   • $18$ dag - $6$ jabłek
   • $19$ dag - $8$ jabłek
   • $20$ dag - $17$ jabłek
   • $21$ dag - $11$ jabłek
   • $22$ dag - $3$ jabłka
   • $23$ dag - $3$ jabłka
2. Dominantą jest wartość, która występuje najczęściej. Z listy widzimy, że najliczniejsza jest masa $20$ dag ($17$ jabłek ze wszystkich $50$), więc dominanta jest równa $20$ dag, a poprawnym uzasadnieniem jest fakt, że ta masa występuje najliczniej w próbie — odpowiedź $A3$.

1. 
   Najdłuższą przekątną graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki, którego rzutem na płaszczyznę podstawy jest najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego. Przechodzi ona przez środek podstawy i ma długość równą podwojonej długości boku:
   $$d=2a=2\cdot 6=12$$
2. Ta przekątna podstawy, wysokość graniastosłupa (równa krawędzi bocznej $h=6$) oraz szukana przekątna przestrzenna tworzą trójkąt prostokątny. Obliczamy długość przekątnej przestrzennej $e$:
   $$\begin{array}{rl}& e=\sqrt{d^2+h^2}\\ & e=\sqrt{12^2+6^2}\\ & e=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\end{array}$$
3. Kąt nachylenia przekątnej $e$ do płaszczyzny podstawy leży przy przekątnej podstawy $d$, więc jego cosinus to stosunek przyprostokątnej $d$ do przeciwprostokątnej $e$:
   $$\begin{array}{rl}& \cos \alpha =\frac{d}{e}\\ & \cos \alpha =\frac{12}{6\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{array}$$