Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Ponieważ $\alpha \in (0^{\circ },180^{\circ })$ i $\text{tg}\alpha$ jest ujemny, kąt $\alpha$ jest rozwarty — ramię kąta różne od dodatniej półosi $Ox$ leży więc w II ćwiartce układu (ma ujemną odciętą i dodatnią rzędną).
2. Tangens kąta wyznaczonego przez punkt $(x,y)$ leżący na jego ramieniu to iloraz $\frac{y}{x}$. Sprawdzamy punkty leżące w II ćwiartce:
   $$\begin{array}{rl}A=(-2,3):\text{tg}& =\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}\\ B=(-3,2):\text{tg}& =\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}\\ E=(-1,3):\text{tg}& =\frac{3}{-1}=-3\end{array}$$
3. Tylko punkt $B$ daje $\text{tg}\alpha =-\frac{2}{3}$, więc kąt $\alpha$ jest zaznaczony na rysunku B.

1. Ponieważ $\cos \beta =\frac{1}{\sqrt{10}}>0$ i $\beta \in (0^{\circ },180^{\circ })$, kąt $\beta$ jest ostry — jego ramię leży w I ćwiartce (dodatnia odcięta i dodatnia rzędna).
2. Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy $\sin \beta$ (dodatni, bo kąt jest ostry):
   $$\begin{array}{rl}{\sin }^2\beta & =1-{\cos }^2\beta =1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\\ \sin \beta & =\frac{3}{\sqrt{10}}\end{array}$$
3. Obliczamy tangens:
   $$\text{tg}\beta =\frac{\sin \beta }{\cos \beta }=\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \sqrt{10}=3$$
4. Sprawdzamy punkty leżące w I ćwiartce:
   $$\begin{array}{rl}C=(3,2):\text{tg}& =\frac{2}{3}\\ D=(1,3):\text{tg}& =\frac{3}{1}=3\\ F=(3,1):\text{tg}& =\frac{1}{3}\end{array}$$
5. Tylko punkt $D$ daje $\text{tg}\beta =3$, więc kąt $\beta$ jest zaznaczony na rysunku D.

1. Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy $\cos \alpha$ (dodatni, bo kąt jest ostry):
   $$\begin{array}{rl}{\cos }^2\alpha & =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\\ \cos \alpha & =\frac{2}{3}\end{array}$$
2. Obliczamy tangens:
   $$\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

1. W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich:
   $$4=\frac{1+(a+5)}{2}$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 8=1+a+5\\ & 8=a+6\\ & a=2\end{array}$$

1. Wyraz ogólny ciągu geometrycznego:
   $$a_n=a_1\cdot q^{n-1}=128\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$
2. Sprawdzamy znak wyrazu $a_{2023}$: wykładnik $n-1=2022$ jest parzysty, więc ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^{2022}$ jest dodatnia, a zatem $a_{2023}$ jest liczbą dodatnią, zatem pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Obliczamy wyrazy $a_2$ i $a_3$:
   $$a_2=128\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-64,a_3=128\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=128\cdot \frac{1}{4}=32$$
4. Obliczamy różnicę:
   $$a_3-a_2=32-(-64)=96$$
5. Drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

1. Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego:
   $$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-7,5}{3,75}=-2$$
2. Wyznaczamy trzeci wyraz ciągu:
   $$a_3=a_2\cdot q=-7,5\cdot (-2)=15$$
3. Sumujemy trzy początkowe wyrazy:
   $$a_1+a_2+a_3=3,75+(-7,5)+15=11,25$$

1. Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego: podwojony środkowy wyraz jest sumą wyrazu pierwszego i trzeciego:
   $$2x^2=(3x^2+5x)+(20-x^2)$$
2. Upraszczamy prawą stronę równania:
   $$2x^2=2x^2+5x+20$$
3. Odejmujemy $2x^2$ od obu stron i wyznaczamy $x$:
   $$\begin{array}{rl}& 0=5x+20\\ & x=-4\end{array}$$

1. Ramię kąta $\alpha$ różne od dodatniej półosi $Ox$ przechodzi przez punkty $O=(0,0)$ i $P=(-3,1)$. Tangens kąta między tym ramieniem a dodatnią półosią $Ox$ obliczamy jako stosunek współrzędnej $y$ do współrzędnej $x$ punktu $P$:
   $$\tan \alpha =\frac{y_P}{x_P}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$$

1. Współczynnik kierunkowy prostej $l$ to $\frac{3}{2}$. Proste prostopadłe mają iloczyn współczynników kierunkowych równy $-1$, więc współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi:
   $$a_k=-\frac{1}{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}$$
2. Prostą $k$ zapisujemy jako $y=-\frac{2}{3}x+b$ i wyznaczamy $b$, podstawiając współrzędne punktu $P=(6,0)$:
   $$\begin{array}{rl}0& =-\frac{2}{3}\cdot 6+b\\ 0& =-4+b\\ b& =4\end{array}$$
3. Zatem prosta $k$ ma równanie $y=-\frac{2}{3}x+4$.

1. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
   $${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)}^2=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}$$
2. Kąt $\alpha$ jest ostry, więc $\sin \alpha >0$:
   $$\sin \alpha =\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}$$

1. Wyłączamy ${\sin }^2\alpha$ przed nawias:
   $${\sin }^4\alpha +{\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha \cdot \left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)$$
2. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:
   $${\sin }^2\alpha \cdot 1={\sin }^2\alpha$$

1. Wyłączamy $\cos \alpha$ przed nawias:
   $$\cos \alpha -\cos \alpha \cdot {\sin }^2\alpha =\cos \alpha (1-{\sin }^2\alpha )$$
2. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, skąd $1-{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha$:

1. Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Współczynnik kierunkowy prostej $k$ to $-\frac{1}{2}$, a prostej $l$ to $2m-1$. Zapisujemy równanie:
   $$2m-1=-\frac{1}{2}$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 2m=-\frac{1}{2}+1\\ & 2m=\frac{1}{2}\\ & m=\frac{1}{4}\end{array}$$