Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego do sześciu. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez 3. Wtedy
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), dane są punkty A=(1,2) i B=(2m,m), gdzie m jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta k o równaniu y=−x−1.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta przechodząca przez punkty A i B jest równoległa do prostej k, gdy
Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 9. Wierzchołki podstawy ABCD sześcianu połączono odcinkami z punktem W, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy EFGH. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDW (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 9. Wierzchołki podstawy ABCD sześcianu połączono odcinkami z punktem W, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy EFGH. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDW (zobacz rysunek).
Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
Liczba czterocyfrowa nieparzysta i podzielna przez 5 musi kończyć się cyfrą, która jest jednocześnie nieparzysta i sprawia, że liczba dzieli się przez 5: jedyna taka cyfra to 5. Na miejscu jedności mamy więc 1 możliwość.
Na miejscu tysięcy nie może stać 0 (liczba ma być czterocyfrowa), więc mamy 9 możliwości (1–9).
Na miejscu setek i na miejscu dziesiątek może stać dowolna cyfra od 0 do 9, czyli po 10 możliwości na każdym z tych miejsc.
Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb jest równa:
9⋅10⋅10⋅1
C.6⋅5⋅5
D.3⋅5⋅5
D. 3⋅5⋅5
Liczba ma być trzycyfrowa, większa od 300 i mieć wszystkie cyfry parzyste. Cyfra setek musi więc jednocześnie być parzysta i dawać liczbę większą od 300, czyli należeć do zbioru {4,6,8} — to 3 możliwości.
Cyfra dziesiątek może być dowolną cyfrą parzystą: {0,2,4,6,8} — 5 możliwości. Tyle samo możliwości ma cyfra jedności.
Liczba wszystkich takich liczb to iloczyn liczby możliwości dla każdej cyfry:
3⋅5⋅5
B.p=61
C.p=31
D.p=32
C. p=31
Wynik pierwszego rzutu nie wpływa na wynik drugiego rzutu, więc wystarczy rozważyć sam drugi rzut. Liczby oczek podzielne przez 3 na kostce to 3 i 6 — 2 z 6 możliwych wyników:
p=62=31
A. nie mają punktów wspólnych.
B. są prostopadłe.
C. przecinają się w punkcie P=(0,−1).
D. się pokrywają.
B. są prostopadłe.
Współczynniki kierunkowe prostych to ak=31 oraz al=−3.
Sprawdzamy iloczyn współczynników kierunkowych:
ak⋅al=31⋅(−3)=−1
Ponieważ iloczyn współczynników kierunkowych jest równy −1, proste k i l są prostopadłe.
B.x=7
C.x=−6
D.x=6
C. x=−6
Zapisujemy równanie na średnią arytmetyczną:
62x+4+6+8+11+13=5
Upraszczamy i rozwiązujemy:
2x+42=302x=−12x=−6
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A=(1,2) i B=(2m,m):
a=2m−1m−2
Współczynnik kierunkowy prostej k to ak=−1. Proste są równoległe, gdy współczynniki kierunkowe są równe:
2m−1m−2=−1
Rozwiązujemy równanie:
m−2=−(2m−1)m−2=−2m+13m=3m=1
Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:
3x2−8x−3≥0
Obliczamy wyróżnik trójmianu 3x2−8x−3:
Δ=(−8)2−4⋅3⋅(−3)=64+36=100
Wyznaczamy pierwiastki trójmianu:
x1=68−10=−31,x2=68+10=3
Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Nierówność 3x2−8x−3≥0 jest spełniona poza przedziałem między pierwiastkami, łącznie z ich końcami:
S100=14750
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i obliczamy różnicę r:
a4=a1+3r8=−1+3rr=3
Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy S100:
S100=22a1+(100−1)r⋅100=2−2+297⋅100=14750
W ciągu arytmetycznym różnica między trzecim a drugim wyrazem jest równa różnicy między drugim a pierwszym wyrazem:
r=y−(y−4)=4
Ciąg możemy więc zapisać w postaci (x,x+4,x+8). Korzystamy z warunku, że suma wszystkich wyrazów jest równa 6:
x+(x+4)+(x+8)=63x+12=63x=−6x=−2
Obliczamy pozostałe wyrazy ciągu:
x+4=2,x+8=6
A.243
B.364,5
C.489
D.729
A. 243
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku 9, a jego wysokością jest krawędź sześcianu (punkt W leży dokładnie nad środkiem podstawy, na wysokości górnej ściany sześcianu), więc h=9. Obliczamy pole podstawy:
P=92=81
Obliczamy objętość ostrosłupa:
V=31⋅P⋅h=31⋅81⋅9=243
cosα=33
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.