W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Wzór funkcji f można przedstawić w postaci: ………. oraz ………. .
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x+1). Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), fragment wykresu funkcji y=g(x).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Fragment wykresu funkcji y=g(x) przedstawiono na rysunku
Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze 22°C opisuje funkcja wykładnicza T(x)=78⋅2−0,05x+22, gdzie T(x) to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza (°C) po x minutach liczonych od momentu x=0, w którym zioła zalano wrzątkiem.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Temperatura naparu po 20 minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa
Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x)=x2+1x−k, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek f(1)=2.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość współczynnika k we wzorze tej funkcji jest równa
Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji f w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba a oraz liczba b we wzorze funkcji f spełniają warunki:
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(x−13)2−256. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba (−3).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba
Poprawna odpowiedź
Ponieważ a>b, a jeden bok jest o 5 krótszy od drugiego, to bok a jest o 5 dłuższy od boku b:
a−b=5czyli roˊwnowaz˙nieb=a−5
Porównujemy te dwie zależności z podanymi układami. Układ C zawiera równania 2(a+b)=30 oraz b=a−5, a układ E zawiera równania 2a+2b=30 oraz a−b=5 — oba opisują dokładnie te same zależności, tylko zapisane w równoważny sposób. Poprawnymi odpowiedziami są C oraz E.
A.m=−2
B.m=−1
C.m=1
D.m=2
A. m=−2
Proste nie mają punktów wspólnych, gdy są równoległe i różne — czyli mają ten sam współczynnik kierunkowy, a różne wyrazy wolne. Porównujemy współczynniki kierunkowe obu funkcji:
2m+3=−1
Rozwiązujemy równanie:
2m+32mm=−1=−4=−2
Sprawdzamy wyrazy wolne: funkcja f ma wyraz wolny 5, a funkcja g wyraz wolny 0 — są różne, więc dla m=−2 proste rzeczywiście nie mają punktów wspólnych.
A.(−∞,−2]
B.(−∞,4]
C.[−2,+∞)
D.[4,+∞)
C. [−2,+∞)
Z rysunku odczytujemy, że wierzchołek paraboli ma współrzędne (4,−2), a ramiona paraboli są skierowane w górę (parabola ma najmniejszą wartość w wierzchołku).
Najmniejszą wartością funkcji jest więc −2, a funkcja rośnie nieograniczenie po obu stronach wierzchołka, więc zbiorem wartości jest przedział:
[−2,+∞)
(2,6)
Z rysunku odczytujemy, że parabola przecina oś Ox w punktach x=2 oraz x=6, a ramiona paraboli są skierowane w górę.
Wartości funkcji są ujemne dokładnie między miejscami zerowymi, czyli dla:
x∈(2,6)
A.f(x)=21(x−2)(x−6)
B.f(x)=21(x−4)2−2
C.f(x)=2(x−2)(x−6)
D.f(x)=21(x+4)2−2
E.f(x)=2(x+2)(x+6)
F.f(x)=2(x+4)2−2
AB
Z rysunku odczytujemy miejsca zerowe funkcji: x=2 oraz x=6, oraz wierzchołek paraboli w punkcie (4,−2).
Postać iloczynowa z miejscami zerowymi 2 i 6, sprawdzona przez punkt przecięcia z osią Oy odczytany z wykresu (f(0)=6), to:
f(x)=21(x−2)(x−6),bo 21(0−2)(0−6)=21⋅12=6
Postać kanoniczna z tym samym współczynnikiem a=21 i wierzchołkiem (4,−2) to:
f(x)=21(x−4)2−2
Poprawne odpowiedzi to A oraz B.
B
Przekształcenie g(x)=f(x+1) przesuwa wykres funkcji f o 1 w lewo wzdłuż osi Ox.
Wierzchołek paraboli f znajduje się w punkcie (4,−2), więc wierzchołek paraboli g znajduje się w punkcie:
(4−1,−2)=(3,−2)
Miejsca zerowe funkcji f to x=2 i x=6, więc miejsca zerowe funkcji g to:
x=2−1=1orazx=6−1=5
Wykres z wierzchołkiem w punkcie (3,−2) i miejscami zerowymi x=1 oraz x=5 przedstawiono na rysunku B.
A.(−4)
B.(−21)
C.2
D.74
D. 74
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty obliczamy ze wzoru:
a=xB−xAyB−yA
Podstawiamy współrzędne punktów A=(−3,−1) i B=(4,3):
a=4−(−3)3−(−1)=74
A. 22 °C
B. 39 °C
C. 78 °C
D. 61 °C
D. 61 °C
Podstawiamy x=20 do wzoru funkcji:
T(20)=78⋅2−0,05⋅20+22=78⋅2−1+22
Obliczamy:
78⋅21+22=39+22=61
A.(−3)
B.3
C.(−4)
D.4
A. (−3)
Podstawiamy x=1 do wzoru funkcji i korzystamy z warunku f(1)=2:
12+11−k=2
Upraszczamy mianownik i rozwiązujemy równanie:
21−k=21−k=4k=−3
A.[−6,5]
B.(−6,5)
C.(−3,5]
D.[−3,5]
A. [−6,5]
Odcinek poziomy wykresu zaczyna się w punkcie x=−6 (zamknięty, pełny punkt) i kończy w x=−3 (otwarty, puste kółko).
Od x=−3 (tu już zamknięty, bo funkcja przyjmuje w tym miejscu inną wartość) wykres rośnie aż do x=2 (otwarty, puste kółko na szczycie), a następnie maleje od x=2 (zamknięty) do x=5 (zamknięty, koniec wykresu).
Łącząc wszystkie odcinki bez przerw w dziedzinie, otrzymujemy:
x∈[−6,5]
A.0
B.1
C.2
D.5
C. 2
Dla x∈[−4,−3) wykres jest odcinkiem poziomym, na którym f(x)=2.
Dla x∈[−3,1] wykres jest rosnący, od wartości f(−3)=−3 do wartości f(1)=1.
Porównujemy wszystkie wartości osiągane w przedziale [−4,1]: największa z nich to 2 (osiągana na odcinku poziomym), bo jest większa od 1 (największej wartości na odcinku rosnącym).
max[−4,1]f=2
A.[−6,−3)
B.[−3,1]
C.(1,2]
D.[2,5]
D. [2,5]
Odczytujemy przebieg funkcji na kolejnych odcinkach wykresu: na [−6,−3) funkcja jest stała, na [−3,2) jest rosnąca, a na [2,5] jest malejąca — wykres opada od punktu (2,5) do punktu (5,3).
Zatem funkcja f jest malejąca w zbiorze:
[2,5]
A.24
B.29
C.36
D.69
A. 24
Różnicę ciągu arytmetycznego obliczamy jako różnicę dwóch kolejnych znanych wyrazów:
r=a3−a2=9−4=5
Pierwszy wyraz wyznaczamy, cofając się o jeden krok od a2:
a1=a2−r=4−5=−1
Szósty wyraz obliczamy ze wzoru ogólnego an=a1+(n−1)r:
a6=a1+5r=−1+5⋅5=−1+25=24
A.a>0 i b>0.
B.a>0 i b<0.
C.a<0 i b>0.
D.a<0 i b<0.
C. a<0 i b>0
Z wykresu odczytujemy, że funkcja f jest malejąca (wykres opada w prawo), więc współczynnik kierunkowy jest ujemny:
a<0
Z wykresu odczytujemy też, że prosta przecina oś y powyżej punktu 0, czyli wartość funkcji dla x=0 jest dodatnia:
b=f(0)>0
A.(−29)
B.(−23)
C.23
D.29
D. 29
Funkcja kwadratowa f(x)=(x−13)2−256 jest zapisana w postaci kanonicznej, więc oś symetrii jej paraboli to prosta x=13. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej są symetryczne względem osi symetrii.
Obliczamy odległość znanego miejsca zerowego x=−3 od osi symetrii:
13−(−3)=16
Drugie miejsce zerowe leży w takiej samej odległości od osi symetrii, ale po jej drugiej stronie: