Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Odczytuję miejsca zerowe funkcji kwadratowej z postaci iloczynowej: $x+3=0$ lub $x-2=0$.
   $$\begin{array}{rl}& x_1=-3\\ & x_2=2\end{array}$$
2. Współczynnik przy $x^2$ po rozwinięciu nawiasów jest ujemny (bo przed nawiasami stoi $-2$), więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Szukam argumentów, dla których parabola leży powyżej osi $Ox$: to przedział między miejscami zerowymi.
3. Szkicuję parabolę i odczytuję zbiór rozwiązań nierówności.
   $$x\in (-3,2)$$

1. Zauważmy, że wyrażenie jest kwadratem sumy:
   $$x^2+10x+25=(x+5{)}^2$$
2. Podstawiamy $x=\sqrt{2}-5$:
   $$(\sqrt{2}-5+5{)}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2$$

1. Obliczamy iloczyn $V(x)\cdot H(x)$:
   $$V(x)\cdot H(x)=(x^3+1)(x-2)=x^4-2x^3+x-2$$
2. Odejmujemy od $W(x)$:
   $$W(x)-V(x)\cdot H(x)=x^4-(x^4-2x^3+x-2)$$
3. Upraszczamy:
   $$x^4-x^4+2x^3-x+2=2x^3-x+2$$

1. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero – wyznaczamy rozwiązania wynikające z dwóch znanych czynników.
   $$\begin{array}{rl}& x+3=0⟹x=-3\\ & 2x+4=0⟹x=-2\end{array}$$
2. Rozwiązaniami równania są liczby $-3$, $-2$ oraz $m$. Ich suma ma być równa $0$.
   $$-3+(-2)+m=0$$
3. Rozwiązujemy otrzymane równanie ze względu na $m$.
   $$\begin{array}{rl}& -5+m=0\\ & m=5\end{array}$$

1. Wszystkich drzew jest łącznie $198$, więc suma liczby drzew iglastych i liściastych daje pierwsze równanie.
   $$x+y=198$$
2. Gdyby drzew iglastych było o $18$ więcej, byłoby ich $x+18$. Wtedy drzew liściastych ($y$) byłoby $3$ razy więcej niż tak zwiększonej liczby drzew iglastych.
   $$y=3(x+18)$$
3. Oba równania tworzą układ opisujący sytuację z zadania.
   $$\begin{array}{rl}& x+y=198\\ & 3(x+18)=y\end{array}$$

1. Licznik pierwszego ułamka to wzór skróconego mnożenia:
   $$x^2+20x+100=(x+10{)}^2$$
2. Podstawiamy i mnożymy ułamki:
   $$\frac{(x+10{)}^2}{x^3}\cdot \frac{x^2}{x+10}=\frac{(x+10{)}^2\cdot x^2}{x^3\cdot (x+10)}$$
3. Skracamy czynnik $(x+10)$ oraz $x^2$:
   $$\frac{(x+10{)}^2\cdot x^2}{x^3\cdot (x+10)}=\frac{x+10}{x}$$

1. Dzielimy obie strony nierówności przez $(-2)$, pamiętając o zmianie znaku nierówności na przeciwny:
   $$\begin{array}{rl}-2(x+3)(x-2)& >0/:(-2)\\ (x+3)(x-2)& <0\end{array}$$
2. Miejsca zerowe wyrażenia to $x=-3$ oraz $x=2$. Współczynnik przy $x^2$ w iloczynie $(x+3)(x-2)$ jest dodatni, więc odpowiadająca mu parabola ma ramiona skierowane w górę - szukamy na rysunku zbioru $x$, dla których wykres jest pod osią $Ox$, czyli przedziału między miejscami zerowymi
   

1. Iloczyn jest równy zero, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero. Z czynnika $2x=0$ otrzymujemy:
   $$x=0$$
2. Z czynnika $x^2-3=0$ otrzymujemy:
   $$x^2=3⟹x=-\sqrt{3}\text{lub}x=\sqrt{3}$$
3. Ostatni czynnik to równanie kwadratowe $x^2+2x+3$:
   $$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 3=-8<0$$
4. Ujemny delta oznacza brak rozwiązań rzeczywistych. Więc łącznie równanie ma trzy rozwiązania rzeczywiste: $x=0$, $x=-\sqrt{3}$, $x=\sqrt{3}$.

1. Miejsce zerowe to argument, dla którego wykres funkcji przecina oś $x$ (wartość funkcji wynosi $0$). Odczytujemy z wykresu punkty przecięcia z osią $x$:
   $$x=-3,5x=-2x=3$$
2. Wykres przecina oś $x$ w trzech punktach, więc funkcja $f$ ma dokładnie trzy miejsca zerowe.

1. Mnożymy równanie na krzyż (zakładając, że $3x-1\ne 0$).
   $$5(x+2)=2(3x-1)$$
2. Wymnażamy nawiasy po obu stronach.
   $$5x+10=6x-2$$
3. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę, a liczby na drugą.
   $$\begin{array}{rl}& 10+2=6x-5x\\ & 12=x\end{array}$$

1. Największa wartość funkcji to najwyższy punkt na wykresie. Odczytujemy z wykresu, że jest to punkt $(2,3)$.
2. Funkcja $f$ osiąga największą wartość, równą $3$, dla argumentu $x=2$.