Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 13

2 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = {- 2 x - 10 x - 1 dla x \in (- 5, - 3] dla x \in (- 3, 4]

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba ___.
2. Wartość wyrażenia

f (- 2) + 3 \cdot f (2)

jest równa ___.

1.

1

; 2.

0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Miejsca zerowego szukamy osobno w każdym kawałku wzoru. Dla $x \in (- 5, - 3]$ przyrównujemy do zera wyrażenie $- 2 x - 10$ .
$- 2 x - 10 = 0 ⟹ x = - 5$

Zadanie 12.2 Funkcje

2 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = {- 2 x - 10 x - 1 dla x \in (- 5, - 3] dla x \in (- 3, 4]

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział ___.
2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

f (x) < - 2

jest przedział ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.2 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne

(3, 6)

. Ta parabola przecina oś

O y

w punkcie o współrzędnych

(0, 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

Zadanie 12.3 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne

(3, 6)

. Ta parabola przecina oś

O y

w punkcie o współrzędnych

(0, 3)

.

Funkcja

g

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

g (x) = f (x) - 3

. Liczby

x_{1}

oraz

x_{2}

są różnymi miejscami zerowymi funkcji

g

.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Suma

x_{1} + x_{2}

jest równa ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Funkcja kwadratowa

3 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji kwadratowej

f

przechodzi przez punkt

(2, 15)

. Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu

x = - 1

. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

1

.

Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Funkcja liniowa

1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

g

jest liczba

(- 3)

.
Dla argumentu

0

funkcja

g

przyjmuje wartość

(- \frac{3}{2})

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja

g

jest określona wzorem

Zadanie 13 Funkcja liniowa

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (3 - m) x - 4

.

Funkcja

f

nie ma miejsca zerowego dla

m

równego

Zadanie 14 Trygonometria

1 pkt

Informacja do zadań 14.–15.
Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym bok

B C

jest przeciwprostokątną, punkt

D

jest środkiem przyprostokątnej

A B

oraz

∣ A B ∣ = 6

i

∣ C D ∣ = 5

. Oznaczmy kąt

A D C

przez

α

, natomiast kąt

A B C

– przez

β

(zobacz rysunek).

Tangens kąta

α

jest równy

Zadanie 14.1 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n^{2} - 3 n

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Suma

S_{3}

trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Zadanie 14.1 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

{a_{1} = 2 a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

Trzeci wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zadanie 14.1 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

.
W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja

f

jest określona wzorem

Zadanie 14.2 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony następująco:

{a_{1} = 2 a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny.
Ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny.

Zadanie 14.2 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

.
W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.
Współczynnik $c$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.

Zadanie 14.2 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n^{2} - 3 n

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny.
Wszystkie wyrazy ciągu $(a_{n})$ są liczbami parzystymi.

Zadanie 14.3 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

.
W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Funkcja

g

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

g (x) = f (x - 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Osią symetrii wykresu funkcji

g

jest prosta o równaniu

Zbiór zadań

Wyniki