Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $2$ (liczba dodatnia, więc znak nierówności się nie zmienia), a następnie przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę, a wyrazy liczbowe na drugą.
   $$\begin{array}{rl}2(3-x)& >5x-1\\ 6-2x& >5x-1\\ 6+1& >5x+2x\\ 7& >7x\\ 1& >x\end{array}$$
2. Zbiorem rozwiązań nierówności $x<1$ jest przedział:
   $$x\in (-\infty ,1)$$

1. Mnożymy obie strony przez $2$:
   $$16-(1-2x)\ge 6x$$
2. Upraszczamy lewą stronę:
   $$16-1+2x\ge 6x⟹15\ge 4x⟹x\le \frac{15}{4}=3,75$$
3. Największa liczba całkowita spełniająca nierówność to $3$.

1. Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ dla $a=3x+y$, $b=3x-y$:
   $$(3x+y{)}^2-(3x-y{)}^2=\left[(3x+y)+(3x-y)\right]\cdot \left[(3x+y)-(3x-y)\right]$$
2. Upraszczamy nawiasy i mnożymy:
   $$\begin{array}{rl}& =6x\cdot 2y\\ & =12xy\end{array}$$

1. Usuwamy nawias (mnożymy przez $-2$) i porządkujemy lewą stronę:
   $$\begin{array}{rl}& 3-2(1-2x)\ge 2x-17\\ & 3-2+4x\ge 2x-17\\ & 1+4x\ge 2x-17\end{array}$$
2. Przenosimy niewiadome na jedną stronę, a liczby na drugą, i dzielimy przez $2$:
   $$\begin{array}{rl}& 4x-2x\ge -17-1\\ & 2x\ge -18\\ & x\ge -9\end{array}$$
3. Zbiorem rozwiązań jest przedział $[-9,\infty )$ — na osi liczbowej odpowiada mu zamalowany punkt w $-9$ (bo nierówność jest nieostra) i zaznaczenie liczb większych, czyli rysunek D.

1. Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero (czynnik $4$ nigdy nie jest zerem). Rozkładamy różnicę kwadratów $x^2-25=(x-5)(x+5)$:
   $$4(x-1{)}^2(x-5)(x+5)=0$$
2. Przyrównujemy każdy czynnik do zera:
   $$(x-1{)}^2=0\Rightarrow x=1x-5=0\Rightarrow x=5x+5=0\Rightarrow x=-5$$
3. Otrzymujemy trzy różne rozwiązania: $x=-5$, $x=1$, $x=5$.

1. Funkcja liniowa ma wzór $g(x)=ax+b$. Dla argumentu $0$ funkcja przyjmuje wartość $-\frac{3}{2}$, więc wyraz wolny $b$ jest równy tej wartości.
   $$b=-\frac{3}{2}$$
2. Miejscem zerowym jest $(-3)$, czyli $g(-3)=0$. Podstawiamy i wyznaczamy współczynnik $a$.
   $$\begin{array}{rl}& -3a-\frac{3}{2}=0\\ & -3a=\frac{3}{2}\\ & a=-\frac{1}{2}\end{array}$$
3. Funkcja $g$ jest więc określona wzorem $g(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$.

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $2$, aby pozbyć się ułamka:
   $$\begin{array}{rl}3-x& \ge \frac{5x-1}{2}\\ 6-2x& \ge 5x-1\end{array}$$
2. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę, a liczby na drugą:
   $$\begin{array}{rl}6+1& \ge 5x+2x\\ 7& \ge 7x\end{array}$$
3. Dzielimy obie strony przez $7$:
   $$1\ge x$$
4. Zbiorem rozwiązań nierówności jest zatem przedział:
   $$x\in (-\infty ,1]$$

1. Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero:
   $$2x=0\vee x+3=0\vee x^2+25=0$$
2. Z pierwszych dwóch czynników otrzymujemy:
   $$\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=-3\end{array}$$
3. Trzeci czynnik $x^2+25=0$ oznacza $x^2=-25$, a to nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny.
4. Zatem równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste: $(-3)$ oraz $0$.

1. Oznaczmy: $x$ – liczba drzew posadzonych w pierwszym sadzie, $y$ – liczba drzew posadzonych w drugim sadzie. Z treści zadania:
   $$x+y=1410\text{oraz}0,85y=0,70\cdot 0,80x$$
2. Z pierwszego równania wyznaczamy $y=1410-x$ i podstawiamy do drugiego:
   $$0,85(1410-x)=0,56x$$
3. Rozwiązujemy otrzymane równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 1198,5-0,85x=0,56x\\ & 1,41x=1198,5\\ & x=850\end{array}$$
4. W maju 2024 roku w pierwszym sadzie posadzono $850$ drzew.

1. Z wykresu odczytujemy wartości funkcji dla podanych argumentów: $f(-2)=-3$ oraz $f(2)=1$.
2. Obliczamy wartość podanego wyrażenia.
   $$f(-2)+3\cdot f(2)=-3+3\cdot 1=0$$

1. Rozkładamy licznik i mianownik pierwszego ułamka na czynniki:
   $$x^2+x=x(x+1),x^2+4x+4=(x+2{)}^2$$
2. Podstawiamy i zapisujemy iloczyn ułamków:
   $$\frac{x(x+1)}{(x+2{)}^2}\cdot \frac{x+2}{x}$$
3. Skracamy $x$ w licznikach i mianownikach oraz jeden czynnik $(x+2)$:
   $$\frac{x(x+1)}{(x+2{)}^2}\cdot \frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+2}$$

1. Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę, a następnie dzielimy nierówność przez $(-3)$, zmieniając znak nierówności na przeciwny:
   $$\begin{array}{rl}-3x^2& >6x-9\\ -3x^2-6x+9& >0/:(-3)\\ x^2+2x-3& <0\end{array}$$
2. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego $x^2+2x-3$:
   $$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$$
3. Obliczamy miejsca zerowe:
   $$x_1=\frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-3,x_2=\frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$$
4. Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, parabola ma ramiona skierowane do góry, więc wartości ujemne przyjmuje między miejscami zerowymi. Szkicujemy wykres i odczytujemy przedział, w którym $x^2+2x-3<0$:
   
   
5. Zbiorem rozwiązań nierówności jest zatem przedział:
   $$x\in (-3,1)$$

1. Oznaczmy przez $x$ kwotę przyznaną zespołowi A, a przez $y$ kwotę przyznaną zespołowi B. Warunki zadania zapisujemy w postaci układu równań:
   $$\{\begin{array}{l}x+y=1200000\\ 0,13x+0,11y=146700\end{array}$$
2. Z pierwszego równania wyznaczamy $y=1200000-x$ i podstawiamy do drugiego:
   $$0,13x+0,11(1200000-x)=146700$$
3. Wymnażamy nawias i rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 0,13x+132000-0,11x=146700\\ & 0,02x=14700\\ & x=735000\end{array}$$
4. Zespołowi A przyznano kwotę $735000$ zł.