Zbiór zadań

Znaleziono 199 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Szukamy liczby, do której po dodaniu $-4$ otrzymamy $-5,25$. Odejmujemy więc $-4$ od $-5,25$.
   $$-5,25-(-4)=-1,25$$
2. Liczba $-1,25$ to liczba II.

1. Szukany ułamek ma postać $\frac{n}{4}$, gdzie $n$ jest licznikiem. Zapisujemy warunek, że ułamek jest większy od $3$ i mniejszy od $5$:
   $$3<\frac{n}{4}<5$$
2. Mnożymy obie strony przez $4$:
   $$12<n<20$$
3. Liczby naturalne spełniające ten warunek to $13,14,15,16,17,18,19$ – jest ich siedem, czyli odpowiedź B.

1. Mnożymy pierwszy nawias przez $2$:
   $$2(a-2b)=2a-4b$$
2. Mnożymy nawiasy $(a-b)(2-b)$ każdy wyraz przez każdy:
   $$(a-b)(2-b)=2a-ab-2b+b^2$$
3. Odejmujemy ten wynik (zmieniamy znaki przy odejmowaniu nawiasu) i dodajemy $b^2$:
   $$\begin{array}{rl}& 2a-4b-(2a-ab-2b+b^2)+b^2\\ & =2a-4b-2a+ab+2b-b^2+b^2\end{array}$$
4. Grupujemy wyrazy podobne: wyrazy z $a$ się znoszą, zostaje $ab$ oraz suma wyrazów z $b$:
   $$(2a-2a)+ab+(-4b+2b)+(-b^2+b^2)=ab-2b$$

1. Podstawa $\frac{1}{5}$ jest liczbą dodatnią mniejszą od $1$, więc im większy wykładnik, tym mniejsza wartość potęgi.
   $${\left(\frac{1}{5}\right)}^8<{\left(\frac{1}{5}\right)}^6$$
2. Zdanie, że ${\left(\frac{1}{5}\right)}^8>{\left(\frac{1}{5}\right)}^6$, jest więc fałszywe (F).
3. Obliczamy lewą stronę drugiego zdania.
   $$2^2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=4\cdot \frac{1}{4}=1$$
4. Obliczamy prawą stronę drugiego zdania.
   $$(-2{)}^3\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=(-8)\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)=1$$
5. Obie strony są równe $1$, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

1. Zapisujemy warunek na średnią arytmetyczną trzech liczb:
   $$\frac{12+14+k}{3}=16$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 12+14+k=48\\ & k=48-26\\ & k=22\end{array}$$
3. Liczba $k$ jest równa $22$ – pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
4. Sprawdzamy drugie zdanie – obliczamy średnią arytmetyczną liczb $12$, $14$, $k$, $11$, $17$ dla $k=22$:
   $$\frac{12+14+22+11+17}{5}=\frac{76}{5}=15,2$$
5. $15,2$ nie jest większe od $16$ – drugie zdanie jest fałszywe (F). Odpowiedź: PF.

1. Aby porównać $4$ z $2\sqrt{3}$ i $3\sqrt{2}$, podnosimy obie strony do kwadratu (obie liczby są dodatnie, więc kolejność się zachowuje):
   $$\begin{array}{rl}& 4^2=16,(2\sqrt{3}{)}^2=4\cdot 3=12\\ & 4^2=16,(3\sqrt{2}{)}^2=9\cdot 2=18\end{array}$$
2. Skoro $16>12$, to $4>2\sqrt{3}$, czyli liczba $4$ nie jest mniejsza od $2\sqrt{3}$. Skoro $16<18$, to $4<3\sqrt{2}$, więc poprawna jest odpowiedź B.
3. Aby porównać $4$ z $\sqrt{2}+2$, odejmujemy $2$ od obu stron, a potem podnosimy do kwadratu:
   $$4-2=2,2^2=4,(\sqrt{2}{)}^2=2$$
4. Skoro $4>2$, to $2>\sqrt{2}$, czyli $4>\sqrt{2}+2$, a zatem liczba $4$ jest większa od $\sqrt{2}+2$ (odpowiedź C).
5. Aby porównać $4$ z $6-\sqrt{3}$, przekształcamy nierówność $4>6-\sqrt{3}$ do postaci $\sqrt{3}>2$ i sprawdzamy kwadraty:
6. Skoro $3<4$, to $\sqrt{3}<2$, więc nierówność $4>6-\sqrt{3}$ jest fałszywa, czyli liczba $4$ nie jest większa od $6-\sqrt{3}$. Poprawne odpowiedzi to B i C.

1. Obliczamy wartość liczby $x$:
   $$x=\frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{16}{15}$$
2. Obliczamy wartość liczby $y$, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika:
   $$y=\frac{4}{5}+\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{12}{15}-\frac{20}{15}=-\frac{8}{15}$$
3. Liczba $y=-\frac{8}{15}$ jest ujemna – to odpowiedź A.
4. Porównujemy $x=-\frac{16}{15}$ i $y=-\frac{8}{15}$ – obie liczby są ujemne, więc mniejsza jest ta, której wartość bezwzględna jest większa:
   $$-\frac{16}{15}<-\frac{8}{15}$$
5. Zatem $x<y$, czyli liczba $x$ jest mniejsza od liczby $y$ – to odpowiedź C. Odpowiedzi: A, C.

1. Niech liczba kulek zielonych będzie równa $x$. Kulek czerwonych jest trzy razy więcej niż zielonych, czyli jest ich $3x$.
2. Kulek czerwonych jest o dwa mniej niż niebieskich, więc niebieskich jest o dwa więcej niż czerwonych.
   $$3x+2$$
3. Porównujemy liczby kulek: zielonych jest $x$, czerwonych $3x$, a niebieskich $3x+2$. Dla dodatniego $x$ najmniejsza z tych trzech liczb to $x$ – najmniej jest więc kulek zielonych (odpowiedź B).
4. Liczbę wszystkich kulek obliczamy jako sumę kulek zielonych, czerwonych i niebieskich.
   $$x+3x+(3x+2)=7x+2$$
5. Liczbę wszystkich kulek w pudełku opisuje więc wyrażenie $7x+2$ (odpowiedź D).

1. Odczytujemy z osi liczbowej wartości zaznaczonych liczb, licząc kratki (jedna krata to jedna jednostka) względem liczb $1$ i $3$:
   

   • $k=-5$
   • $m=-1$
   • $t=5$
   • $p=7$
2. Obliczamy wartość każdego z podanych wyrażeń.
   $$\begin{array}{rl}& A.k+p=-5+7=2\\ & B.k+m+t=-5+(-1)+5=-1\\ & C.k+t=-5+5=0\\ & D.k+m+p=-5+(-1)+7=1\end{array}$$
3. Wartość równą $1$ ma wyrażenie z odpowiedzi D.

1. Obliczamy liczbę kul każdego koloru. Kul białych jest $5$, kul czerwonych jest trzy razy więcej:
   $$3\cdot 5=15$$
2. Kul niebieskich jest o $5$ mniej niż czerwonych:
   $$15-5=10$$
3. Obliczamy łączną liczbę kul w pudełku:
   $$5+15+10=30$$
4. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej to stosunek liczby kul białych do wszystkich kul:
   $$P=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$$

1. Wyjściowe równanie to $5x=\frac{y}{w}$. Sprawdzamy równanie I – dzielimy obie strony przez $5$:
   $$x=\frac{y}{5w}$$
2. Otrzymaliśmy dokładnie równanie I, więc jest ono poprawne.
3. Sprawdzamy równanie II – mnożymy obie strony wyjściowego równania przez $w$:
   $$5xw=y$$
4. To nie jest to samo co $y=\frac{5x}{w}$ podane w równaniu II, więc równanie II jest niepoprawne.
5. Sprawdzamy równanie III – z otrzymanego równania $5xw=y$ dzielimy obie strony przez $5x$:
   $$w=\frac{y}{5x}$$
6. Otrzymaliśmy dokładnie równanie III, więc jest ono poprawne. Poprawne są równania I i III – odpowiedź C.

1. Sumujemy cyfry liczby $27733$.
   $$2+7+7+3+3=22$$
2. Liczba $22$ nie jest podzielna przez $3$ (kryterium podzielności przez $3$: suma cyfr musi być podzielna przez $3$), więc liczba $27733$ też nie jest podzielna przez $3$. Odpowiedź: B, uzasadnienie 2.

1. Znak $\ge$ jest nieostry, więc liczba $-3$ też spełnia nierówność i na osi liczbowej zaznaczamy ją zamalowanym (domkniętym) kółkiem.
2. Nierówność obejmuje wszystkie liczby większe lub równe $-3$, czyli leżące na osi na prawo od $-3$, więc zamalowujemy odcinek osi w tę stronę.
3. Rysunek z zamalowanym kółkiem w punkcie $-3$ i zaznaczonym obszarem na prawo od niego to rysunek C.