Zbiór zadań

Znaleziono 60 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Z wykresu odczytujemy liczbę finalistów w poszczególnych latach: $2018-10$, $2019-8$, $2020-0$, $2021-4$, $2022-12$, $2023-5$.
2. Obliczamy sumę finalistów z sześciu lat:
   $$10+8+0+4+12+5=39$$
3. Średnia arytmetyczna to suma podzielona przez liczbę lat:
   $$\frac{39}{6}=6,5$$

1. Z diagramu odczytujemy zysk firmy w poszczególnych kwartałach 2024 roku (w tysiącach złotych):
   $$I=300,II=450,III=600,IV=500$$
2. Obliczamy łączny zysk w całym roku 2024:
   $$300+450+600+500=1850$$
3. Sprawdzamy pierwsze zdanie: obliczamy $\frac{1}{6}$ zysku z całego roku i porównujemy z zyskiem w I kwartale:
   $$\frac{1}{6}\cdot 1850\approx 308,33\ne 300$$
4. Zysk w I kwartale ($300$) nie stanowi $\frac{1}{6}$ zysku rocznego, więc pierwsze zdanie jest fałszywe (F).
5. Sprawdzamy drugie zdanie: obliczamy zysk w pierwszym półroczu (I+II kwartał) i w drugim półroczu (III+IV kwartał):
   $$\begin{array}{rl}& I+II=300+450=750\\ & III+IV=600+500=1100\end{array}$$
6. Obliczamy różnicę między drugim a pierwszym półroczem:
   $$1100-750=350$$
7. Różnica jest równa dokładnie $350$ tysięcy złotych, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

1. Rozkładamy liczby $18$ i $27$ na czynniki pierwsze i wyznaczamy największy wspólny dzielnik:
   $$18=2\cdot 3^2,27=3^3⟹X=\text{NWD}(18,27)=9$$
2. Wyznaczamy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $2$ i $4$:
   $$Y=\text{NWW}(2,4)=4$$
3. Podstawiamy $X=9$ i $Y=4$ do kodu $YXXY$:
   $$YXXY=4994$$

1. Obliczamy wartości poszczególnych potęg:
   $$4^3=64,8^2=64,2^4=16$$
2. Zgodnie z kolejnością wykonywania działań najpierw wykonujemy dzielenie, a dopiero potem odejmowanie:
   $$8^2:2^4=64:16=4$$
3. Wykonujemy odejmowanie:
   $$4^3-8^2:2^4=64-4=60$$

1. Kwotę dzielimy na $6+3+1=10$ równych części.
2. Obliczamy wartość jednej części:
   $$1800:10=180$$
3. Nagroda za III miejsce to jedna część, czyli $180$ złotych (odpowiedź A).
4. Nagroda za I miejsce to $6$ części, a nagroda za II miejsce to $3$ części. Obliczamy, ile razy większa jest nagroda za I miejsce:
   $$\frac{6}{3}=2$$
5. Nagroda za I miejsce jest więc $2$ razy większa od nagrody za II miejsce (odpowiedź D).

1. Obliczamy oba składniki w nawiasie:
   $$0,75\cdot 8=6,8\cdot \frac{1}{2}=4$$
2. Dodajemy otrzymane wyniki:
   $$6+4=10$$
3. Dzielimy sumę przez $-2$:
   $$10:(-2)=-5$$

1. Redukujemy nawiasy po obu stronach równania:
   $$\begin{array}{rl}& 3(x+2)=3x+6\\ & 6-(x-1)=7-x\end{array}$$
2. Rozwiązujemy powstałe równanie liniowe:
   $$\begin{array}{rl}& 3x+6=7-x\\ & 4x=1\\ & x=\frac{1}{4}\end{array}$$

1. Obliczamy $w$:
   $$w=\sqrt{100-64}-2=\sqrt{36}-2=6-2=4$$
2. Obliczamy $x$:
   $$x=12-\sqrt{64+36}=12-\sqrt{100}=12-10=2$$
3. Obliczamy $y$:
   $$y=\sqrt{25-16}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0$$
4. Obliczamy $z$:
   $$z=7-\sqrt{9+16}=7-\sqrt{25}=7-5=2$$
5. Jedyną z tych liczb równą $0$ jest $y$.

1. Oznaczmy przez $a$, $b$, $c$ liczbę kilogramów makulatury zebranej odpowiednio przez klasy 8A, 8B i 8C. Z treści zadania zapisujemy układ:
   $$\{\begin{array}{l}a+b+c=132,9\\ a+b=90,6\\ b+c=86,8\end{array}$$
2. Odejmując od pierwszego równania drugie, obliczamy $c$:
   $$c=132,9-90,6=42,3$$
3. Podstawiamy obliczoną wartość $c$ do trzeciego równania i wyznaczamy $b$:
   $$b=86,8-42,3=44,5$$

1. Sprowadzamy wszystkie wyrażenia do potęg liczby $2$:
   $$\begin{array}{rl}& I:2^{24}:2=2^{23}\\ & II:4^{12}\cdot 4=(2^2{)}^{12}\cdot 2^2=2^{24}\cdot 2^2=2^{26}\\ & III:2^{25}:8=2^{25}:2^3=2^{22}\\ & IV:(4\cdot 8{)}^4=32^4=(2^5{)}^4=2^{20}\end{array}$$
2. Porównujemy wykładniki: największy jest $26$, więc największą wartość ma wyrażenie II (odpowiedź B).

1. Grupujemy czynniki o podstawie $2$ i dodajemy wykładniki:
   $$2^5\cdot 2^3=2^{5+3}=2^8$$
2. Grupujemy czynniki o podstawie $3$ (pamiętając, że $3=3^1$) i dodajemy wykładniki:
   $$3^1\cdot 3^4=3^{1+4}=3^5$$
3. Łącząc oba wyniki, otrzymujemy wyrażenie równe wartości $2^8\cdot 3^5$.

1. Zniżka $40\%$ na kocura oznacza, że Janek płaci $100\%-40\%=60\%$ jego ceny:
   $$0,6x$$
2. Zniżka $20\%$ na kotkę oznacza, że Janek płaci $100\%-20\%=80\%$ jej ceny:
   $$0,8y$$
3. Łączna kwota zapłacona przez Janka to suma obu cen po zniżce, czyli $0,6x+0,8y$.

1. Pierwsza cyfra liczby czterocyfrowej nie może być zerem, a suma wszystkich cyfr to $3$, więc pierwsza cyfra to $1$, $2$ albo $3$. Rozważamy każdy z tych przypadków osobno.
2. Gdy pierwsza cyfra to $3$: pozostałe trzy cyfry muszą sumować się do $0$, więc jest to tylko liczba $3000$ — $1$ możliwość.
3. Gdy pierwsza cyfra to $2$: pozostałe trzy cyfry sumują się do $1$, czyli dokładnie jedna z nich to $1$, a pozostałe to $0$ — liczby $2100$, $2010$, $2001$, czyli $3$ możliwości.
4. Gdy pierwsza cyfra to $1$: pozostałe trzy cyfry sumują się do $2$ — możliwe trójki cyfr to $(2,0,0)$, $(0,2,0)$, $(0,0,2)$, $(1,1,0)$, $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, czyli $6$ możliwości.
5. Łącznie liczba czterocyfrowych liczb spełniających warunek jest równa:
   $$1+3+6=10$$

1. Rozwiązujemy równanie, przenosząc wyrazy z $a$ na jedną stronę, a liczby na drugą:
   $$\begin{array}{rl}& 3a-4=a+2\\ & 3a-a=2+4\\ & 2a=6\\ & a=3\end{array}$$
2. Równość jest spełniona dla $a=3$ — to odpowiedź A.
3. Upraszczamy drugie wyrażenie: opuszczamy nawiasy (przed drugim jest znak minus, więc zmieniamy znaki wewnątrz) i redukujemy wyrazy podobne:
   $$(3a-4)-(a+2)=3a-4-a-2=2a-6$$
4. Otrzymane wyrażenie jest równe $2a-6$ — to odpowiedź D. Odpowiedzi: A, D.