Zbiór zadań

Znaleziono 199 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Obwód prostokąta $ABCD$:
   $$2(4+9)=26$$
2. W skali $2:1$ każdy bok prostokąta $EFGH$ jest dwa razy dłuższy, więc jego wymiary to $8$ cm i $18$ cm, a jego obwód:
   $$2(8+18)=52=2\cdot 26$$
3. Obwód $EFGH$ jest rzeczywiście dwukrotnie większy od obwodu $ABCD$ — pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
4. Pole prostokąta $EFGH$:
   $$8\cdot 18=144$$
5. Drugie zdanie również jest prawdziwe (P), więc odpowiedzią jest PP.

1. Obliczamy długość odcinka $AB$ (leży on na osi $y$):
   $$|AB|=4-0=4$$
2. Obliczamy długość odcinka $CD$ (leży on na osi $x$):
   $$|CD|=6-(-2)=8$$
3. Odcinki mają różne długości ($4\ne 8$), więc pierwsze zdanie jest fałszywe (F).
4. Odcinek $AB$ leży na osi $y$ (jest pionowy), a odcinek $CD$ leży na osi $x$ (jest poziomy). Oś $y$ jest prostopadła do osi $x$, więc odcinki $AB$ i $CD$ też są prostopadłe – drugie zdanie jest prawdziwe (P).

1. Wprowadzamy układ współrzędnych, w którym schronisko $S$ leży w punkcie $(0,0)$. Wieża widokowa jest $4$ km na zachód i $3$ km na północ od $S$, więc $W=(-4,3)$. Muzeum jest $5$ km na wschód od $S$, więc $M=(5,0)$.
2. Odległość schroniska od muzeum (leżą na tej samej równoleżnikowej linii):
   $$|SM|=5$$
3. Odległość schroniska od wieży widokowej liczymy z twierdzenia Pitagorasa:
   $$|SW|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$
4. Obie odległości są równe $5$ km, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
5. Odległość muzeum od wieży widokowej liczymy z różnic współrzędnych:
   $$|MW|=\sqrt{(5-(-4){)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}\approx 9,49$$
6. To mniej niż $10$ km, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P).

1. Z rysunku odczytujemy obwody kolejnych trapezów. Trapez złożony z $3$ trójkątów ma podstawę dolną $4$ cm, podstawę górną $2$ cm i dwa boki ukośne po $2$ cm, czyli obwód $10$ cm. Trapez złożony z $5$ trójkątów ma obwód $14$ cm, a złożony z $7$ trójkątów ma obwód $18$ cm:
   $$10,14,18,\dots$$
2. Zauważamy regularność: każdy kolejny trapez w tym ciągu ma o $2$ trójkąty więcej i obwód większy o $4$ cm od poprzedniego.
3. Obliczamy, o ile centymetrów trzeba zwiększyć obwód (z $10$ cm do $42$ cm) i ile to daje kroków po $4$ cm:
   $$42-10=32,32:4=8\text{ krokoˊw}$$
4. Każdy krok oznacza $2$ dodatkowe trójkąty, więc do wyjściowych $3$ trójkątów trzeba dołożyć:
   $$8\cdot 2=16\text{ troˊjkątoˊw}$$
5. Łączna liczba trójkątów w szukanym trapezie:
   $$3+16=19$$

1. Ponieważ przekątna $BD$ jest prostopadła do boku $AD$, trójkąt $ABD$ jest prostokątny, z przyprostokątnymi $AD=6$ i $BD=8$. Bok $AB$ jest przeciwprostokątną tego trójkąta – obliczamy jego długość z twierdzenia Pitagorasa:
   $$AB=\sqrt{A{D}^2+B{D}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$
2. W równoległoboku boki przeciwległe mają równe długości, więc $BC=AD=6$ oraz $CD=AB=10$. Obliczamy obwód:
   $$Obw=2\cdot (AD+AB)=2\cdot (6+10)=32$$

1. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta $ADE$, w którym podstawą jest odcinek $AD$, a wysokością odcinek poprowadzony z $E$:
   $$28=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot 7$$
2. Wyznaczamy długość $AD$:
   $$AD=\frac{2\cdot 28}{7}=8$$
3. Odcinek $AD$ jest jednocześnie bokiem kwadratu $ABCD$, więc pole kwadratu jest równe:
   $$A{D}^2=8^2=64$$

1. 
   Po usunięciu $AF$ i $AB$ znika lewy trójkąt, a zostaje tylko jedna (pozioma) oś symetrii – zdanie prawdziwe (P).
2. 
   Po usunięciu samego $FE$ obie strony wciąż są swoimi lustrzanymi odbiciami – pionowa oś symetrii zostaje, więc zdanie jest fałszywe (F).

1. Objętość pierwszego prostopadłościanu:
   $$V_1=5\cdot 6\cdot 10=300$$
2. Objętość drugiego prostopadłościanu:
   $$V_2=6\cdot 6\cdot 10=360$$
3. Różnica objętości:
   $$V_2-V_1=360-300=60$$
4. Zatem objętość pierwszego prostopadłościanu to $300$, a różnica objętości to $60$.

1. Aby ustawić prostopadłościany jeden na drugim i otrzymać jeden większy prostopadłościan, muszą się one stykać ścianami o takich samych wymiarach. Pierwszy prostopadłościan ma wymiary $5,6,10$, a drugi $6,6,10$ - wspólna para wymiarów to $6$ i $10$, więc oba prostopadłościany stoją na wspólnej podstawie $6\times 10$.
2. Brakujący wymiar (wysokość) pierwszego prostopadłościanu to $5$, a drugiego to $6$. Po ustawieniu jednego na drugim powstaje prostopadłościan o podstawie $6\times 10$ i wysokości:
   $$5+6=11$$
3. Obliczamy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $6$, $10$ i $11$:
   $$2(6\cdot 10+6\cdot 11+10\cdot 11)=2(60+66+110)=2\cdot 236=472$$

1. 
   
   Siatka sześcianu składa się z $6$ przystających kwadratów (ścian). Obwód tej siatki (zaznaczony na czerwono) to suma boków zewnętrznych, jest ich $14$.
2. Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez $a$. Obwód siatki to $14$ takich boków, więc:
   $$14a=70⟹a=5$$
3. Pole powierzchni całkowitej sześcianu to suma pól jego $6$ ścian:
   $$P=6a^2=6\cdot 5^2=6\cdot 25=150$$

1. Trzy sześciany o krawędzi $5$ ustawione jeden na drugim tworzą prostopadłościan o podstawie $5\times 5$ i wysokości równej $3\cdot 5=15$.
2. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $a=5$, $b=5$, $c=15$ obliczamy ze wzoru:
   $$P=2(ab+ac+bc)=2\left(5\cdot 5+5\cdot 15+5\cdot 15\right)$$
3. Wykonujemy obliczenia:
   $$P=2(25+75+75)=2\cdot 175=350$$

1. Upraszczamy wyrażenie pod pierwiastkami - zapisujemy $\sqrt{10}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}$ oraz $\sqrt{6}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$, a następnie skracamy wspólne czynniki:
   $$a=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{10}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}=2\sqrt{5}=\sqrt{20}$$
2. Szukamy dwóch kolejnych liczb naturalnych, między którymi leży $\sqrt{20}$ - sprawdzamy najbliższe kwadraty liczb całkowitych:
   $$\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}$$
3. Obliczamy pierwiastki liczb skrajnych:
   $$\sqrt{16}=4,\sqrt{25}=5$$
4. Zatem liczba $a=\sqrt{20}$ znajduje się na osi liczbowej między liczbami $4$ i $5$.

1. Obliczamy, jaką część liczby wszystkich tulipanów stanowią razem czerwone i żółte tulipany:
   $$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{3+5}{15}=\frac{8}{15}$$
2. Pozostałą część, czyli udział białych tulipanów, obliczamy jako uzupełnienie do całości:
   $$1-\frac{8}{15}=\frac{15-8}{15}=\frac{7}{15}$$
3. Liczba białych tulipanów stanowi $\frac{7}{15}$ liczby wszystkich tulipanów na tym klombie.

1. Liczbę kartek czerwonych oznaczamy jako $x$. Wtedy kartek niebieskich jest $1,5x$, a kartek zielonych jest $x-10$.
2. Układamy równanie na podstawie łącznej liczby kartek ($160$):
   $$x+1,5x+(x-10)+37=160$$
3. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 3,5x=160-37+10\\ & 3,5x=133\\ & x=38\end{array}$$
4. Obliczamy liczbę kartek niebieskich:
   $$1,5\cdot 38=57$$