Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 6

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są punkty

A = (1, 7)

oraz

P = (3, 1)

. Punkt

P

dzieli odcinek

A B

tak, że

∣ A P ∣ : ∣ P B ∣ = 1 : 3

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkt

B

ma współrzędne

B.

(9, - 17)

1

Z punktu $A$ do punktu $P$ przechodzimy o $2$ w prawo i o $6$ w dół. Przerywane trójkąty prostokątne są podobne, bo $∣ A B ∣ = ∣ A P ∣ + ∣ P B ∣ = 4∣ A P ∣$ , więc przyprostokątne dużego trójkąta są $4$ razy dłuższe.

Zadanie 34 Geometria analityczna

2 pkt

W kwadracie

A B C D

punkty

A = (- 8, - 2)

oraz

C = (0, 4)

są końcami przekątnej.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną

B D

tego kwadratu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 36 Geometria analityczna

5 pkt

Punkty

A = (\frac{22}{5}, - \frac{21}{5})

,

B = (6, 7)

oraz

C = (- 9, 2)

są wierzchołkami trójkąta

A B C

.
Symetralna boku

A B

tego trójkąta przecina bok

B C

w punkcie

D

.
Oblicz współrzędne punktu

D

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 36 Geometria analityczna

5 pkt

W trapezie równoramiennym

A B C D

podstawa

C D

ma długość

5

. Punkt

F = (3, 11)

jest środkiem odcinka

C D

. Prosta o równaniu

y = - \frac{4}{3} x + 15

jest osią symetrii tego trapezu oraz

B = (\frac{23}{2}, 8)

.
Oblicz współrzędne wierzchołka

A

oraz pole tego trapezu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Geometria analityczna

1 pkt

Sumą wektorów

a = [2 + 2 m, \frac{2}{3} n + 1]

oraz

b = [n + 1, m + 2]

jest wektor

c = [0, 0]

.
Wynika stąd, że

Zadanie 9 Geometria analityczna

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

A = (9, 12)

jest wierzchołkiem trójkąta

A B C

. Prosta

k

o równaniu

y = \frac{1}{2} x

zawiera dwusieczną kąta

A B C

tego trójkąta. Okrąg

O

o równaniu

(x - 8)^{2} + (y - 4)^{2} = 16

jest wpisany w ten trójkąt.

Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki

B

i

C

tego trójkąta z okręgiem

O

.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są: punkt

A = (8, 11)

oraz okrąg o równaniu

(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 25

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu

A

od środka tego okręgu jest równa

Zadanie 12 Geometria analityczna

6 pkt

Prosta

k

o równaniu

x + y - 9 = 0

przecina parabolę o równaniu

y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4}

w punktach

A

oraz

B

. Pierwsza współrzędna punktu

A

jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu

B

jest liczbą ujemną. Prosta

l

jest równoległa do prostej

k

i styczna do danej paraboli w punkcie

C

.

Oblicz odległość punktu

C

od prostej

k

oraz pole trójkąta

A B C

.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Geometria analityczna

6 pkt

Dane są okrąg

o_{1}

o równaniu

(x - 6)^{2} + (y - 4)^{2} = 98

oraz okrąg

o_{2}

o promieniu

25

. Środki okręgów

o_{1}

i

o_{2}

leżą po różnych stronach prostej

k

o równaniu

y = - 3 x - 6

, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej

k

. Wyznacz równanie okręgu

o_{2}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Geometria analityczna

6 pkt

Punkt

A = (- 3, 2)

jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Pole tego trójkąta jest równe

15

. Bok

B C

zawarty jest w prostej o równaniu

y = x - 1

. Oblicz współrzędne wierzchołków

B

i

C

tego trójkąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 21 Geometria analityczna

1 pkt

Punkty

A = (- 2, 6)

oraz

B = (3, b)

leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy

b

jest równe

Zadanie 21 Geometria analityczna

1 pkt

Proste o równaniach

y = \frac{2}{3} x - 3

oraz

y = (2 m - 1) x + 1

są prostopadłe, gdy

Zadanie 22 Geometria analityczna

1 pkt

Dane są cztery proste

k

,

l

,

m

,

n

o równaniach:

k : y = - x + 1 l : y = \frac{2}{3} x + 1

m : y = - \frac{3}{2} x + 4 n : y = - \frac{2}{3} x - 1

Wśród tych prostych prostopadłe są

Zadanie 22 Geometria analityczna

1 pkt

Proste o równaniach

y = - \frac{5}{4} x - 2

oraz

y = \frac{4}{2 m - 1} x + 1

są prostopadłe. Wynika stąd, że

Zadanie 22 Geometria analityczna

1 pkt

Punkty

A = (1, - 3)

oraz

C = (- 2, 4)

są końcami przekątnej

A C

rombu

A B C D

. Środek przekątnej

B D

tego rombu ma współrzędne

Zbiór zadań

Wyniki