Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), dane są punkty A=(1,2) i B=(2m,m), gdzie m jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta k o równaniu y=−x−1.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prosta przechodząca przez punkty A i B jest równoległa do prostej k, gdy
Dane są prosta k o równaniu x−2y=0 i prosta l o równaniu 2x+y−1=0. Punkt P leży na prostej o równaniu y=x+4. Odległość punktu P od prostej k jest dwa razy większa niż odległość punktu P od prostej l. Oblicz współrzędne punktu P.
Prosta przechodząca przez punkty A=(8,−6) i B=(5,15) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O=(0,0). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.
Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y=x+b, y=x+2b, y=b, y=2, gdzie liczba rzeczywista b spełnia warunki: b=2 i b=0. Wyznacz wszystkie wartości parametru b, dla których pole tego równoległoboku jest równe 1.
Dane są parabola o równaniu y=x2 oraz punkty A=(0,2) i B=(1,3) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C.
Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m.
Dane są parabola o równaniu y=x2 oraz punkty A=(0,2) i B=(1,3) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C.
Wyznacz wszystkie wartości m, dla których trójkąt ABC jest ostrokątny.
Punkt A=(3,−5) jest wierzchołkiem kwadratu ABCD, a punkt M=(1,3) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu ABCD jest równe
Punkty A=(−20,12) i B=(7,3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym ∣AC∣=∣BC∣. Wierzchołek C leży na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka C oraz obwód tego trójkąta.
Prosta o równaniu x+y−10=0 przecina okrąg o równaniu x2+y2−8x−6y+8=0 w punktach K i L. Punkt S jest środkiem cięciwy KL. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku S i skali k=−3.
Punkt A=(−2,6) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu równym 82,5. Przekątna BD tego rombu zawiera się w prostej l o równaniu 2x−y−5=0. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Sprawdzamy iloczyn współczynników kierunkowych:
ak⋅al=31⋅(−3)=−1
Ponieważ iloczyn współczynników kierunkowych jest równy −1, proste k i l są prostopadłe.
A.m=−1
B.m=1
C.m=21
D.m=2
B. m=1
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A=(1,2) i B=(2m,m):
a=2m−1m−2
Współczynnik kierunkowy prostej k to ak=−1. Proste są równoległe, gdy współczynniki kierunkowe są równe:
2m−1m−2=−1
Rozwiązujemy równanie:
m−2=−(2m−1)m−2=−2m+13m=3m=1
A.m=0 lub m=4
B.m=0 lub m=2
C.m=2
D.m=2 lub m=4
B. m=0 lub m=2
Zapisujemy warunek równości długości wektorów, korzystając ze wzoru na długość wektora [x,y]: ∣v∣=x2+y2:
(m−2)2+(m+2)2=(m1,5)2+(21,5)2
Upraszczamy obie strony równania:
(m−2)2+(m+2)2=2m2+8(m1,5)2+(21,5)2=m3+8
Otrzymujemy równanie:
2m2+8=m3+8m3−2m2=0m2(m−2)=0
Stąd m=0 lub m=2. Oba rozwiązania spełniają warunek m≥0, potrzebny, aby wyrażenie m1,5 było określone.
A.y=x−5
B.y=−x−1
C.y=−x+5
D.y=x+5
A. y=x−5
Kąt nachylenia prostej do osi Ox wynosi 45°, więc współczynnik kierunkowy prostej jest równy:
a=tan45∘=1
Prosta ma więc równanie y=x+b. Podstawiamy współrzędne punktu A=(2,−3) i wyznaczamy b:
−3b=2+b=−5
Zatem prosta k ma równanie y=x−5.
P=(−2,2) lub P=(52,522)
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.