Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 5

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(- 1, 2, x)

jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg

(- 1, 2, y)

jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby

x

oraz

y

spełniają warunki

B.

x > 0

i

y < 0

1
W ciągu arytmetycznym różnica kolejnych wyrazów jest stała, więc $a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2}$ . Podstawiamy wyrazy ciągu i wyznaczamy $x$ .

Zadanie 33 Ciągi

2 pkt

Ciąg

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})

jest arytmetyczny.
Suma pierwszego i drugiego wyrazu jest o

12

większa od sumy trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu.

Oblicz różnicę tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Ciągi

2 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(4 x^{2} - 1, 2 x^{2} + 1, 1 - x)

jest arytmetyczny.

Oblicz

x

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Ciągi

2 pkt

W chwili początkowej (

t = 0

) masa substancji jest równa

4

gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa

19%

masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej

t \geq 0

funkcja

m (t)

określa masę substancji w gramach po

t

pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji

m (t)

. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od

1, 5

grama. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Ciągi

4 pkt

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

2 x - \frac{6 x}{x - 1} + \frac{18 x}{( x - 1 ) ^{2}} - \frac{54 x}{( x - 1 ) ^{3}} + \dots

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej

x

(różnej od

0

i od

1

), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa

\frac{15}{2}

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Ciągi

4 pkt

Określamy kwadraty

K_{1}, K_{2}, K_{3}, \dots

następująco:
•

K_{1}

jest kwadratem o boku długości

a

•

K_{2}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{1}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

•

K_{3}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{2}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej

n \geq 2

,
•

K_{n}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{n - 1}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Ciągi

5 pkt

Ciąg

(a, b, c)

jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg

(2 a, 2 b, c + 1)

jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek

c - b = 6

.

Oblicz

a

,

b

oraz

c

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Ciągi

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. W tym ciągu

a_{2} = 4

oraz

a_{3} = 9

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Szósty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zadanie 14 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

, określony wzorem

a_{n} = - 2^{n}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest

Zadanie 14 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma

n

początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem

S_{n} = 4 \cdot (2^{n} - 1)

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pierwszy wyraz ciągu (a_n) jest równy $4$ .
Drugi wyraz ciągu (a_n) jest równy $12$ .

Zadanie 15 Ciągi

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(1 - 2 a, 12, 48)

jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

a

jest równa

Zadanie 15 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2^{n} \cdot (n + 1)

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyraz

a_{4}

jest równy

Zadanie 15.2 Ciągi

1 pkt

Masa

m

leku

L

zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą

m (t) = m_{0} \cdot (0, 6)^{0, 25 t}

gdzie:

m_{0}

– masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili

t = 0

dawki leku,

t

– czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu

t = 0

zażycia leku.

Liczby

m (2, 5)

,

m (4, 5)

,

m (6, 5)

w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.

Oblicz iloraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{n - 2}{3}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od

10

jest równa

Zadanie 16 Ciągi

1 pkt

Czterowyrazowy ciąg

(- 2, 1, x, y)

jest geometryczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Zbiór zadań

Wyniki