Zbiór zadań

Znaleziono 101 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Różnicę ciągu arytmetycznego obliczamy jako różnicę dwóch kolejnych znanych wyrazów:
   $$r=a_3-a_2=9-4=5$$
2. Pierwszy wyraz wyznaczamy, cofając się o jeden krok od $a_2$:
   $$a_1=a_2-r=4-5=-1$$
3. Szósty wyraz obliczamy ze wzoru ogólnego $a_n=a_1+(n-1)r$:
   $$a_6=a_1+5r=-1+5\cdot 5=-1+25=24$$

1. Pierwszy wyraz ciągu to suma jednego początkowego wyrazu, czyli $S_1$:
   $$a_1=S_1=4\cdot (2^1-1)=4\cdot 1=4$$
2. Zgadza się to z pierwszym stwierdzeniem, więc jest ono prawdziwe (P).
3. Drugi wyraz obliczamy jako różnicę $S_2$ i $S_1$:
   $$\begin{array}{rl}{S}_2& =4\cdot (2^2-1)=4\cdot 3=12\\ a_2& =S_2-S_1=12-4=8\end{array}$$
4. Ponieważ $a_2=8\ne 12$, drugie stwierdzenie jest fałszywe (F). Odpowiedź: PF.

1. Podstawiamy $n=4$ do wzoru ciągu:
   $$a_4=2^4\cdot (4+1)=16\cdot 5=80$$

1. W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
   $$12^2=(1-2a)\cdot 48$$
2. Obliczamy lewą stronę i rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}144& =48(1-2a)\\ 144& =48-96a\\ 96a& =48-144\\ 96a& =-96\\ a& =-1\end{array}$$

1. Podstawiamy $n=3$ do wzoru ciągu:
   $$a_3=(-1{)}^3\cdot \frac{3+1}{2}=-1\cdot \frac{4}{2}=-2$$

1. W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
   $$9^2=27\cdot (a-1)$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 81=27(a-1)\\ & a-1=3\\ & a=4\end{array}$$

1. Szukamy wyrazów spełniających nierówność $a_n<10$, więc podstawiamy wzór ciągu:
   $$\frac{n-2}{3}<10$$
2. Rozwiązujemy nierówność:
   $$\begin{array}{rl}n-2& <30\\ n& <32\end{array}$$
3. Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną spełniającą $n\ge 1$, warunek $n<32$ spełniają liczby $n=1,2,\dots ,31$, czyli dokładnie $31$ wyrazów.

1. W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich:
   $$4=\frac{1+(a+5)}{2}$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 8=1+a+5\\ & 8=a+6\\ & a=2\end{array}$$

1. Wyraz ogólny ciągu geometrycznego:
   $$a_n=a_1\cdot q^{n-1}=128\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$
2. Sprawdzamy znak wyrazu $a_{2023}$: wykładnik $n-1=2022$ jest parzysty, więc ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^{2022}$ jest dodatnia, a zatem $a_{2023}$ jest liczbą dodatnią, zatem pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Obliczamy wyrazy $a_2$ i $a_3$:
   $$a_2=128\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-64,a_3=128\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=128\cdot \frac{1}{4}=32$$
4. Obliczamy różnicę:
   $$a_3-a_2=32-(-64)=96$$
5. Drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.