Zbiór zadań

Znaleziono 90 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Współczynnik kierunkowy prostej $l$ to $\frac{3}{2}$. Proste prostopadłe mają iloczyn współczynników kierunkowych równy $-1$, więc współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi:
   $$a_k=-\frac{1}{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}$$
2. Prostą $k$ zapisujemy jako $y=-\frac{2}{3}x+b$ i wyznaczamy $b$, podstawiając współrzędne punktu $P=(6,0)$:
   $$\begin{array}{rl}0& =-\frac{2}{3}\cdot 6+b\\ 0& =-4+b\\ b& =4\end{array}$$
3. Zatem prosta $k$ ma równanie $y=-\frac{2}{3}x+4$.

1. Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Współczynnik kierunkowy prostej $k$ to $-\frac{1}{2}$, a prostej $l$ to $2m-1$. Zapisujemy równanie:
   $$2m-1=-\frac{1}{2}$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 2m=-\frac{1}{2}+1\\ & 2m=\frac{1}{2}\\ & m=\frac{1}{4}\end{array}$$

1. Okrąg styczny do osi $Ox$ ma promień równy odległości środka od tej osi, czyli wartości bezwzględnej współrzędnej $y$ środka:
   $$r=|-2|=2$$
2. Równanie okręgu o środku $S=(4,-2)$ i promieniu $r=2$ to:
   $$(x-4{)}^2+(y+2{)}^2=2^2=4$$

1. Obliczamy długość boku $KL$ ze wzoru na odległość punktów:
   $$|KL|=\sqrt{(-1-(-7){)}^2+(4-(-2){)}^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$$
2. Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ wyraża się wzorem $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Podstawiamy $a=6\sqrt{2}$:

1. Sprawdzamy, czy proste są prostopadłe, mnożąc ich współczynniki kierunkowe:
   $$a_k\cdot a_l=\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$
2. Iloczyn współczynników kierunkowych jest równy $-1$, więc proste $k$ i $l$ są prostopadłe (odpowiedź A).
3. Wyznaczamy punkt przecięcia, przyrównując prawe strony równań:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+13\\ & \frac{2}{3}x+\frac{3}{2}x=13\\ & \frac{4}{6}x+\frac{9}{6}x=13\\ & \frac{13}{6}x=13\\ & x=6\end{array}$$
4. Obliczamy współrzędną $y$, podstawiając $x=6$ do równania prostej $k$:
   $$y=\frac{2}{3}\cdot 6=4$$
5. Punkt przecięcia to $P=(6,4)$ (odpowiedź 2).

1. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc $a=-\frac{1}{3}$.
2. Podstawiamy współrzędne punktu $P=(3,5)$ do równania $y=ax+b$, aby wyznaczyć $b$:
   $$\begin{array}{rl}& 5=-\frac{1}{3}\cdot 3+b\\ & 5=-1+b\\ & b=6\end{array}$$
3. Zatem $a=-\frac{1}{3}$ i $b=6$ (odpowiedź D).

1. Proste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy, więc szukana prosta ma postać:
   $$y=\frac{3}{4}x+b$$
2. Podstawiamy współrzędne punktu $P=(12,-1)$ i wyznaczamy $b$:
   $$\begin{array}{rl}& -1=\frac{3}{4}\cdot 12+b\\ & -1=9+b\\ & b=-10\end{array}$$
3. Zatem szukana prosta ma równanie:
   $$y=\frac{3}{4}x-10$$

1. Okrąg o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r$ ma równanie:
   $$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$
2. Podstawiamy $S=(-1,2)$ oraz $r=3$:
   $$(x-(-1){)}^2+(y-2{)}^2=3^2⟹(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$$

1. Współczynnik kierunkowy funkcji $f$ to $-1$. Prosta prostopadła do niej ma współczynnik kierunkowy będący liczbą przeciwną i odwrotną:
   $$a_g=-\frac{1}{a_f}=-\frac{1}{-1}=1$$
2. Funkcja $g$ ma więc wzór $g(x)=x+b$. Podstawiamy współrzędne punktu $P=(0,-1)$, aby wyznaczyć $b$:
   $$\begin{array}{rl}& -1=1\cdot 0+b\\ & b=-1\end{array}$$
3. Wzorem funkcji $g$ jest zatem:
   $$g(x)=x-1$$

1. Obliczamy długość przekątnej $AC$ ze wzoru na odległość dwóch punktów:
   $$|AC|=\sqrt{(3-(-1){)}^2+(-3-5{)}^2}=\sqrt{4^2+(-8{)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$$
2. Pole kwadratu o przekątnej $d$ wyraża się wzorem $P=\frac{d^2}{2}$. Podstawiamy:
   $$P=\frac{(4\sqrt{5}{)}^2}{2}=\frac{80}{2}=40$$

1. Sprawdzamy, czy któreś dwie z podanych prostych są prostopadłe. Dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$. Współczynniki kierunkowe podanych prostych to kolejno $\sqrt{3}$, $-\sqrt{3}$ oraz $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
2. Sprawdzamy iloczyn współczynników kierunkowych pierwszej i trzeciej prostej:
   $$\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1$$
3. Iloczyn jest równy $-1$, więc pierwsza i trzecia prosta są prostopadłe. W ich punkcie przecięcia (jednym z wierzchołków trójkąta $KLM$) powstaje więc kąt prosty, czyli trójkąt $KLM$ jest prostokątny. Poprawna odpowiedź to B oraz uzasadnienie 2.