Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 4

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (m + 1) x + 7

l : y = - 2 x + 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste

k

oraz

l

są prostopadłe, gdy liczba

m

jest równa

A.

(- \frac{1}{2})

1
Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $- 1$ :
$(m + 1) \cdot (- 2) = - 1$
2
Rozwiązujemy równanie:
$- 2 m - 2 = - 1 - 2 m = 1 m = - \frac{1}{2}$

Zadanie 23.1 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o równaniu

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Do okręgu $O$ należy punkt o współrzędnych $(- 1, - 3)$ .
Promień okręgu $O$ jest równy $5$ .

Zadanie 23.2 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o równaniu

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5

Okrąg

K

jest obrazem okręgu

O

w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg

K

jest określony równaniem

Zadanie 24 Geometria analityczna

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

odcinek o końcach

A = (- 4, 7)

oraz

B = (6, - 1)

jest średnicą okręgu

O

.
Środkiem okręgu

O

jest punkt o współrzędnych

Zadanie 24 Geometria analityczna

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są punkty

A = (2, 8)

oraz

B = (10, 2)

. Symetralna odcinka

A B

przecina oś

O x

układu współrzędnych w punkcie

P

.

Oblicz współrzędne punktu

P

oraz długość odcinka

A P

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 24 Geometria analityczna

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest równoległobok

A B C D

, w którym

A = (- 2, 6)

oraz

B = (10, 2)

. Przekątne

A C

oraz

B D

tego równoległoboku przecinają się w punkcie

P = (6, 7)

.

Oblicz długość boku

B C

tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 25 Geometria analityczna

1 pkt

Na prostej

l

o współczynniku kierunkowym

\frac{1}{2}

leżą punkty

A = (2, - 4)

oraz

B = (0, b)

.

Wtedy liczba

b

jest równa

Zadanie 36 Geometria analityczna

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dane są punkty

A = (2, 8)

oraz

B = (10, 2)

. Symetralna odcinka

A B

przecina oś

O x

układu współrzędnych w punkcie

P

.

Oblicz współrzędne punktu

P

oraz obwód trójkąta

A B P

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 36 Geometria analityczna

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

przekątne równoległoboku

A B C D

przecinają się w punkcie

S = (9, 11)

. Bok

A B

tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu

y = \frac{1}{2} x - 1

, a bok

A D

zawiera się w prostej o równaniu

y = 2 x - 4

.

Oblicz współrzędne wierzchołka

B

oraz długość odcinka

B S

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Geometria analityczna

1 pkt

Dane są wektory

u = [4, - 5]

oraz

v = [- 1, - 5]

. Długość wektora

u - 4 v

jest równa

Zadanie 9 Geometria analityczna

4 pkt

W okrąg o równaniu

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25

wpisano trójkąt

A B C

. Bok

A B

tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu

4 x - 3 y + 2 = 0

. Wysokość

C D

tego trójkąta dzieli bok

A B

tak, że

∣ A D ∣ = 4 \cdot ∣ D B ∣

.

Oblicz pole trójkąta

A B C

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Geometria analityczna

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta

l

o równaniu

x - y - 2 = 0

przecina parabolę o równaniu

y = 4 x^{2} - 7 x + 1

w punktach

A

oraz

B

. Odcinek

A B

jest średnicą okręgu

O

. Punkt

C

leży na okręgu

O

nad prostą

l

, a kąt

B A C

jest ostry i ma miarę

α

taką, że

tg α = \frac{1}{3}

(zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne punktu

C

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Geometria analityczna

7 pkt

Okrąg

o_{1}

o środku w punkcie

S_{1}

jest określony równaniem

(x - 6)^{2} + (y + 1)^{2} = 16

. Okrąg

o_{2}

ma środek w punkcie

S_{2}

takim, że

S_{1} S_{2} = [- 4, 4]

. Promienie tych okręgów są sobie równe.
Figura

F

składa się z dwóch okręgów:

o_{1}

oraz

o_{2}

. Punkty

M

i

N

są punktami przecięcia figury

F

z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym.
Wyznacz punkt

K

, leżący na jednej z osi symetrii figury

F

, taki, że pole trójkąta

M N K

jest równe

40

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16.1 Geometria analityczna

3 pkt

Rozważamy trójkąty

A B C

, w których

A = (0, 0)

,

B = (m, 0)

, gdzie

m \in (4, + \infty)

, a wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = - 2 x

. Na boku

B C

tego trójkąta leży punkt

D = (3, 2)

.

a) Wykaż, że dla

m \in (4, + \infty)

pole

P

trójkąta

A B C

, jako funkcja zmiennej

m

, wyraża się wzorem

P (m) = \frac{m ^{2}}{m - 4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 18 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

l

o równaniu

y = \frac{3}{2} x - \frac{15}{2}

. Prosta

k

jest prostopadła do prostej

l

i przechodzi przez punkt

P = (6, 0)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta

k

ma równanie

Zbiór zadań

Wyniki