Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Oznaczmy iloraz ciągu geometrycznego przez $q$. Środkowy wyraz to $a_3=2$, więc:
   $$a_1=\frac{2}{q^2},a_2=\frac{2}{q},a_4=2q,a_5=2q^2$$
2. Mnożymy skrajne pary wyrazów, w każdej z nich czynniki $q$ się skracają:
   $$a_1\cdot a_5=\frac{2}{q^2}\cdot 2q^2=2^2,a_2\cdot a_4=\frac{2}{q}\cdot 2q=2^2$$
3. Cały iloczyn to zatem $2^2\cdot 2^2\cdot 2$, czyli piąta potęga środkowego wyrazu:
   $$a_1\cdot a_2\cdot 2\cdot a_4\cdot a_5=2^5=32$$

1. Oznaczmy pierwszy wyraz przez $a_1$ i iloraz przez $q$. Wtedy:
   $$\begin{array}{rl}& a_3\cdot a_6=a_1{q}^2\cdot a_1{q}^5\\ & a_3\cdot a_6=a_1^2{q}^7\end{array}$$
2. Podobnie $a_2\cdot a_7$:
   $$\begin{array}{rl}& a_2\cdot a_7=a_{1}q\cdot a_1{q}^6\\ & a_2\cdot a_7=a_1^2{q}^7\end{array}$$
3. Więc wychodzi na to, że oba wyrażenia możno sprowadzić do tego samego $a_2\cdot a_7=a_1^2{q}^7=a_3\cdot a_6$, więc:

1. Z długości okręgu opisanego wyznaczamy jego promień $R$.
   $$\begin{array}{rl}& 2\pi R=16\\ & R=\frac{8}{\pi }\end{array}$$
2. W trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego to $\frac{2}{3}$ wysokości trójkąta, więc wysokość to $\frac{3}{2}R$.
   $$h=\frac{3}{2}\cdot R=\frac{3}{2}\cdot \frac{8}{\pi }=\frac{12}{\pi }$$

1. Przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta $\alpha$ to iloczyn przeciwprostokątnej i sinusa tego kąta:
   $$a=8\cdot \sin \alpha =8\cdot \frac{1}{4}=2$$
2. Drugą przyprostokątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:
   $$b=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$$
3. Ponieważ $2<2\sqrt{15}$, krótszą przyprostokątną jest ta o długości $2$.

1. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby obliczyć $\cos \alpha$:
   $$\begin{array}{rl}& {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ & {\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1\\ & {\cos }^2\alpha =\frac{2}{3}\end{array}$$
2. Kąt $\alpha$ jest rozwarty, więc $\cos \alpha <0$:
   $$\cos \alpha =-\sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$$
3. Przekształcamy wyrażenie, korzystając ze związku $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$:
   $$\begin{array}{rl}\frac{3\sin \alpha }{\mathrm{tg}\alpha }& =3\sin \alpha :\mathrm{tg}\alpha \\ & =3\sin \alpha :\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\ & =3\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\\ & =3\cos \alpha \end{array}$$
4. Podstawiamy obliczoną wartość $\cos \alpha$:
   $$3\cos \alpha =3\cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)=-\sqrt{6}$$

1. Bok $BC$ jest przeciwprostokątną, więc kąt przy wierzchołku $A$ jest prosty, a $AC$ i $AB$ to przyprostokątne. Kąt $BCA$ oznaczamy na rysunku przez $\alpha$. Tangens kąta $\alpha$ to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw ($AB$) do przyprostokątnej przyległej ($AC$):
   $$\mathrm{tg}\alpha =\frac{|AB|}{|AC|}$$
2. Podstawiamy dane i obliczamy długość odcinka $AB$:
   $$\frac{3}{2}=\frac{|AB|}{6}⟹|AB|=6\cdot \frac{3}{2}=9$$