Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 13

3 pkt

Dany jest trapez równoramienny

A B C D

o podstawach

A B

i

C D

, w którym

∣ A B ∣ = 2 \cdot ∣ C D ∣

. Przekątna

A C

tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta

D A B

.

Wykaż, że w tym trapezie miara kąta

D A B

jest równa

60°

.

cos (2 α) = \frac{1}{2}

, gdzie

2 α = ∠ D A B

, więc

∠ D A B = 60°

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Przyjmijmy oznaczenia:
$∣ C D ∣ = a$
$∣∠ D A B ∣ = ∣∠ A B C ∣ = 2 α$ (bo trapez równoramienny)
Przekątna $A C$ zawiera się w dwusiecznej kąta $D A B$ , więc $∣∠ D A C ∣ = ∣∠ C A B ∣ = α$
kąty $C A B$ i $A C D$ są naprzemianległe, więc $∠ A C D = α$

Trójkąt $A C D$ ma więc dwa kąty równe $α$ , czyli jest równoramienny, stąd:

Zadanie 21 Dowody geometryczne

2 pkt

Dany jest trójkąt

K L M

, w którym

∣ K M ∣ = a

oraz

∣ L M ∣ = b

.
Dwusieczna kąta

L M K

przecina bok

K L

w punkcie

N

(zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta

K N M

do pola trójkąta

N L M

jest równy

\frac{a}{b}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 22 Geometria przestrzenna

1 pkt

Tworząca stożka o promieniu podstawy

1

ma długość

3

.

Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie środkowym o mierze

Zadanie 22 Geometria analityczna

3 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest równoległobok

A B C D

, w którym

D = (6, 19)

. Bok

A B

tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu

y = \frac{1}{2} x + 9

, a bok

A D

zawiera się w prostej o równaniu

y = 4 x - 5

. Punkt

K = (10, 14)

jest środkiem odcinka

A B

. Przekątne równoległoboku

A B C D

przecinają się w punkcie

S

.

Oblicz współrzędne punktu

S

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 22 Geometria przestrzenna

1 pkt

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe

12

.
Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Zadanie 22 Planimetria

1 pkt

W okrąg

O

o promieniu

93

wpisano trójkąt równoboczny

T

.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Bok trójkąta

T

ma długość ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 22 Planimetria

1 pkt

Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu

1

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole zacieniowanej figury jest równe

Zadanie 23 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (- 3, 1)

oraz

B = (1, - 3)

są kolejnymi wierzchołkami kwadratu

A B C D

.

Obwód kwadratu

A B C D

jest równy

Zadanie 23 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : (m - 1) x + 3 y + 5 = 0

l : 6 x + y + 7 = 0

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy liczba

m

jest równa

Zadanie 23 Trygonometria

1 pkt

Kąt

α

jest ostry i spełnia warunek

\frac{3 sin α + 4 cos α}{4 cos α} = 6

.

Tangens kąta

α

jest równy

Zadanie 24 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

odcinek o końcach

A = (1, 1)

oraz

B = (3, - 1)

jest średnicą okręgu

O

.

Okrąg

O

jest określony równaniem

Zadanie 24 Geometria analityczna

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (- 3, 0)

oraz

C = (5, 6)

są końcami przekątnej kwadratu

A B C D

.
Kwadrat

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

jest obrazem kwadratu

A B C D

w symetrii osiowej względem osi

O y

.

Wyznacz równanie okręgu opisanego na kwadracie

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 24.1 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (0, - 3)

,

B = (2, 1)

oraz

C = (0, 2)

są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Pole trójkąta

A B C

jest równe

Zadanie 24.2 Geometria analityczna

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (0, - 3)

,

B = (2, 1)

oraz

C = (0, 2)

są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Środek okręgu opisanego na trójkącie

A B C

ma współrzędne

Zadanie 25 Geometria przestrzenna

1 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

(zobacz rysunek). Pole trójkąta

A C H

jest równe

43

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość krawędzi tego sześcianu jest równa

Zbiór zadań

Wyniki