Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$.
2. Sprawdzamy iloczyny współczynników kierunkowych dla par prostych:
   $$\begin{array}{rl}& k\cdot l:(-1)\cdot \frac{2}{3}=-\frac{2}{3}\\ & k\cdot n:(-1)\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}\\ & l\cdot m:\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-1\\ & m\cdot n:\left(-\frac{3}{2}\right)\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=1\end{array}$$
3. Jedynie iloczyn współczynników kierunkowych prostych $l$ i $m$ jest równy $-1$, więc to one są prostopadłe.

1. Kąty $ODA$ i $BCO$ są proste, a kąty $AOD$ i $BOC$ są kątami wierzchołkowymi (równymi), więc trójkąty $AOD$ i $BOC$ są podobne (cecha kkk).
2. Z podobieństwa trójkątów wynika proporcja odpowiednich boków:
   $$\frac{AD}{BC}=\frac{OD}{OC}$$
3. Podstawiamy dane $|AD|=4$, $|BC|=6$, $|OD|=6$ i wyznaczamy $|OC|$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{4}{6}=\frac{6}{OC}\\ & OC=\frac{6\cdot 6}{4}=9\end{array}$$

1. Pierwsza współrzędna środka odcinka to średnia arytmetyczna pierwszych współrzędnych jego końców:
   $$\frac{4+b}{2}=-12$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 4+b=-24\\ & b=-28\end{array}$$

1. W równoległoboku $ABCD$ przekątne $AC$ i $BD$ mają wspólny środek, więc wierzchołek $D$ wyznaczamy ze wzoru $D=A+C-B$:
   $$D=(-6+10-5,5-3-7)=(-1,-5)$$
2. Obliczamy długość odcinka $BD$ ze wzoru na odległość dwóch punktów:
   $$|BD|=\sqrt{(5-(-1){)}^2+(7-(-5){)}^2}=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$$

1. Oznaczmy $\alpha =\angle BAC$. Z jedynki trygonometrycznej obliczamy $\sin \alpha$:
   $$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$$
2. Pole trójkąta obliczamy ze wzoru $P=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |AC|\cdot \sin \alpha$:
   $$P=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{3}{5}=\frac{18}{5}$$

1. Obliczamy długość boku kwadratu, czyli odległość punktów $A$ i $B$:
   $$|AB|=\sqrt{(4-(-4){)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$$
2. Przekątna kwadratu jest $\sqrt{2}$ razy dłuższa od boku:
   $$d=4\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{10}$$

1. Symetria względem osi $Ox$ przekształca punkt $(x,y)$ w punkt $(x,-y)$, więc w równaniu prostej zastępujemy $y$ przez $-y$:
   $$-y=2x+5$$
2. Mnożymy obie strony przez $-1$, aby otrzymać równanie w postaci kierunkowej:
   $$y=-2x-5$$

1. Obliczamy pole podstawy, czyli pole rombu o przekątnych $7$ cm i $10$ cm:
   $$P=\frac{7\cdot 10}{2}=35{\text{cm}}^2$$
2. Wysokość graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu (czyli $10$ cm) o $2$ cm:
   $$h=10-2=8\text{cm}$$
3. Obliczamy objętość graniastosłupa:
   $$V=P\cdot h=35\cdot 8=280{\text{cm}}^3$$

1. Graniastosłup prawidłowy o podstawie $n$-kąta ma $n$ krawędzi podstawy dolnej, $n$ krawędzi podstawy górnej i $n$ krawędzi bocznych, czyli $3n$ krawędzi łącznie. Ma też $n$ ścian bocznych oraz $2$ podstawy, czyli $n+2$ ścian.
2. Zapisujemy równanie wynikające z podanego stosunku i rozwiązujemy je:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{3n}{n+2}=\frac{7}{3}\\ & 9n=7(n+2)\\ & 9n=7n+14\\ & 2n=14\\ & n=7\end{array}$$
3. Podstawą graniastosłupa jest zatem siedmiokąt.

1. Pole sześciokąta foremnego o boku $a$ wyraża się wzorem $P=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$. Wyznaczamy długość boku:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2=6\sqrt{3}\\ & a^2=4\\ & a=2\end{array}$$
2. Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę $120°$. W trójkącie $AFE$ mamy $|AF|=|FE|=a$ oraz $\angle AFE=120°$, więc z twierdzenia cosinusów obliczamy $|AE|$:
   $$\begin{array}{rl}& A{E}^2=a^2+a^2-2a^2\cos 120^{\circ }\\ & A{E}^2=2a^2-2a^2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=3a^2\\ & AE=a\sqrt{3}\end{array}$$
3. Trójkąt $AFE$ jest równoramienny ($|AF|=|FE|$), więc kąty przy podstawie są równe: $\angle FAE=\angle FEA=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$. Kąt wewnętrzny sześciokąta przy wierzchołku $A$ wynosi $120°$, więc kąt między $AE$ i $AB$ jest równy $\angle EAB=120^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ }$ - odcinek $AE$ jest prostopadły do boku $AB$.
4. Trójkąt $ABE$ jest zatem prostokątny, z przyprostokątnymi $AB=a=2$ i $AE=a\sqrt{3}=2\sqrt{3}$. Jego pole jest równe:

1. Pole sześciokąta foremnego o boku $a$ wyraża się wzorem $P=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$. Wyznaczamy długość boku:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2=6\sqrt{3}\\ & a^2=4\\ & a=2\end{array}$$
2. Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę $120°$. W trójkącie $AFE$ mamy $|AF|=|FE|=a$ oraz $\angle AFE=120°$, więc z twierdzenia cosinusów obliczamy $|AE|$:
   $$\begin{array}{rl}& A{E}^2=a^2+a^2-2a^2\cos 120^{\circ }\\ & A{E}^2=2a^2-2a^2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=3a^2\\ & AE=a\sqrt{3}=2\sqrt{3}\end{array}$$

1. Ponieważ $AB\parallel CD$, trójkąty $ABO$ i $CDO$ są podobne (kąty naprzemianległe przy przekątnych, cecha kkk).
2. Skala podobieństwa jest równa stosunkowi obwodów tych trójkątów:
   $$k=\frac{Ob{w}_{ABO}}{Ob{w}_{CDO}}=\frac{39}{13}=3$$
3. Wysokości trójkątów $ABO$ i $CDO$ poprowadzone z punktu $O$ pozostają w tej samej skali $3:1$ i w sumie dają wysokość trapezu równą $12$. Oznaczmy wysokość trójkąta $CDO$ przez $h$ - wysokość trójkąta $ABO$ jest wtedy równa $3h$:
4. Wysokość trójkąta $ABO$ poprowadzona z punktu $O$ jest równa:
   $$3h=3\cdot 3=9$$