Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa $k$:
   $$k^2=\frac{P_{T_2}}{P_{T_1}}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$$
2. Wyznaczamy skalę podobieństwa (dodatnią, bo to stosunek długości):
   $$k=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$$
3. Obwody figur podobnych skalują się jak $k$ (nie jak $k^2$):
   $$Obw(T_2)=k\cdot Obw(T_1)=\frac{1}{2}\cdot 36=18$$

1. Pole rombu możemy obliczyć na dwa sposoby: przez bok i kąt między bokami ($P=a^2\sin \alpha$) oraz przez przekątne ($P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$). Przyrównujemy oba wzory, aby wyznaczyć iloczyn przekątnych:
   $$d_1\cdot d_2=2a^2\sin \alpha$$
2. Podstawiamy $a=6\sqrt{2}$ oraz $\alpha =150°$, korzystając z $\sin 150°=\sin 30°=\frac{1}{2}$:

1. Obwód wycinka koła to suma długości łuku i dwóch promieni. Obliczamy długość łuku odpowiadającego kątowi środkowemu $30°$:
   $$l=\frac{30°}{360°}\cdot 2\pi r=\frac{1}{12}\cdot 2\pi \cdot 3=\frac{1}{2}\pi$$
2. Dodajemy dwa promienie ograniczające wycinek:
   $$Obw=l+2r=\frac{1}{2}\pi +2\cdot 3=\frac{1}{2}\pi +6$$

1. Odcinki $OA$ i $OC$ są promieniami okręgu, więc trójkąt $AOC$ jest równoramienny, a kąty przy podstawie $AC$ są równe. Skoro $\angle OCA=70°$, to również $\angle OAC=70°$.
2. Obliczamy kąt środkowy $AOC$ z sumy kątów w trójkącie $AOC$:
   $$\angle AOC=180°-70°-70°=40°$$
3. Kąt wpisany $ABC$ oparty na tym samym łuku $AC$ co kąt środkowy $AOC$ jest równy połowie kąta środkowego:
   $$\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot 40°=20°$$

1. Obliczamy długość boku $KL$ ze wzoru na odległość punktów:
   $$|KL|=\sqrt{(-1-(-7){)}^2+(4-(-2){)}^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$$
2. Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ wyraża się wzorem $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Podstawiamy $a=6\sqrt{2}$:

1. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany jest dwa razy większy od kąta wpisanego:
   $$\beta =2\alpha$$
2. Z treści zadania wiemy, że kąt $\beta$ jest o $40°$ większy od kąta $\alpha$, czyli $\beta =\alpha +40°$. Podstawiamy do powyższej zależności i rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 2\alpha =\alpha +40\\ & \alpha =40\end{array}$$
3. Obliczamy miarę kąta $\beta$:
   $$\beta =2\cdot 40°=80°$$

1. Ponieważ $AB\parallel CD$ (są podstawami trapezu), proste $AC$ i $BD$ są siecznymi tych prostych równoległych, więc kąty naprzemianległe są równe: $\angle EAB=\angle ECD$ oraz $\angle EBA=\angle EDC$. Kąty $\angle AEB$ i $\angle CED$ są z kolei wierzchołkowe, więc też równe. Trójkąty $ABE$ i $CDE$ mają po dwa równe kąty, czyli są podobne (cecha kkk) — pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
2. Trójkąty $ACD$ i $BCD$ mają wspólną podstawę $CD$. Punkty $A$ i $B$ leżą na prostej równoległej do $CD$ (bo $AB\parallel CD$), więc ich odległości od prostej $CD$ — czyli wysokości obu trójkątów opuszczone na $CD$ — są takie same. Trójkąty o tej samej podstawie i tej samej wysokości mają równe pola, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Obie odpowiedzi to P. Odpowiedź: PP.

1. Ponieważ $AC$ jest średnicą, kąt wpisany $ABC$ oparty na średnicy jest kątem prostym:
   $$|\angle ABC|=90°$$
2. Kąt między styczną $k$ a cięciwą $AB$ jest równy kątowi wpisanemu w kącie naprzemiennym, czyli kątowi $ACB$ opartemu na tym samym łuku $AB$:
   $$|\angle ACB|=32°$$
3. Z sumy kątów w trójkącie $ABC$ obliczamy kąt $BAC$:
   $$|\angle BAC|=180°-90°-32°=58°$$
4. Kąt środkowy $BOC$ oparty na tym samym łuku $BC$ co kąt wpisany $BAC$ jest dwa razy większy od tego kąta wpisanego:
   $$|\angle BOC|=2\cdot 58°=116°$$

1. 
   Z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie: dwusieczna kąta $ACB$ dzieli przeciwległy bok $AB$ w takim samym stosunku, jak długości boków przyległych do tego kąta:
   $$|AD|:|DB|=|AC|:|BC|$$
2. Podstawiamy dane długości boków:
   $$|AD|:|DB|=3:4$$

1. Przekątna $AC$ rombu dzieli kąt przy wierzchołku $A$ na połowy, więc skoro kąt $BAC=30°$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny ($AB=BC$ jako boki rombu) z kątami przy podstawie $AC$ równymi $30°$ zarówno przy wierzchołku $A$, jak i przy wierzchołku $C$.
2. Niech $M$ będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $B$ na przekątną $AC$. Jako środek podstawy trójkąta równoramiennego $M$ dzieli $AC$ na połowy:
   $$|AM|=\frac{12}{2}=6$$
3. Wysokość $BM$ obliczamy z trójkąta prostokątnego $ABM$:
   $$|BM|=|AM|\cdot \tan (30°)=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$
4. Przekątna $AC$ dzieli romb na dwa przystające trójkąty $ABC$ i $ACD$, więc pole rombu jest dwa razy większe od pola trójkąta $ABC$:
   $$P=2\cdot \frac{1}{2}\cdot |AC|\cdot |BM|=12\cdot 2\sqrt{3}=24\sqrt{3}$$