Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Licznik pierwszego ułamka rozkładamy na czynniki, wyciągając $x$ przed nawias:
   $$x^2+x=x(x+1)$$
2. Zapisujemy iloczyn ułamków i skracamy wspólny czynnik $x$ w liczniku i mianowniku:
   $$\frac{x(x+1)}{(x-2{)}^2}\cdot \frac{x-2}{x}=\frac{\bcancel{x}(x+1)}{(x-2{)}^2}\cdot \frac{x-2}{\bcancel{x}}=\frac{(x+1)(x-2)}{(x-2{)}^2}$$
3. Zapisujemy $(x-2{)}^2$ jako $(x-2)\cdot (x-2)$ i skracamy jeden czynnik $(x-2)$ w liczniku i mianowniku:
   $$\frac{(x+1)(x-2)}{(x-2)(x-2)}=\frac{(x+1)\bcancel{(x-2)}}{\bcancel{(x-2)}(x-2)}=\frac{x+1}{x-2}$$

1. Skoro $W(x)=(x+1)\cdot Q(x)$, to liczba $x=-1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$, czyli $W(-1)=0$.
2. Obliczamy $W(-1)$:
   $$W(-1)=-3\cdot (-1{)}^3-(-1{)}^2+k\cdot (-1)+1=3-1-k+1=3-k$$
3. Przyrównujemy do zera i wyznaczamy $k$:
   $$3-k=0⟹k=3$$

1. Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Rozwiązujemy równanie z licznika:
   $$\begin{array}{rl}& x^2-3x=0\\ & x(x-3)=0\\ & x=0\text{ lub }x=3\end{array}$$
2. Drugi czynnik licznika, $x^2+1$, nie ma miejsc zerowych, bo $x^2+1\ge 1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$, więc nie daje żadnych dodatkowych rozwiązań.
3. Sprawdzamy dziedzinę: mianownik $x^2-25$ zeruje się dla $x=5$ oraz $x=-5$. Żadna z tych liczb nie pokrywa się z otrzymanymi rozwiązaniami $x=0$ i $x=3$, więc oba są poprawne.
4. Równanie ma zatem dokładnie dwa rozwiązania: $x=0$ oraz $x=3$.

1. Przekształcamy nierówność równoważnie, przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę:
   $$\begin{array}{rl}x(2x-1)& <2x\\ 2x^2-x& <2x\\ 2x^2-3x& <0\end{array}$$
2. Wyłączamy $2x$ przed nawias:
   $$2x\left(x-\frac{3}{2}\right)<0$$
3. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero — odczytujemy miejsca zerowe trójmianu:
   $$x=0\text{lub}x=\frac{3}{2}$$
4. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a=2>0$), więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Szukamy zbioru $x$, dla których wykres jest pod osią $Ox$, czyli między miejscami zerowymi:
   

1. Wyznaczamy dziedzinę równania: mianownik nie może być równy zero, więc:
   $$x\ne 1\text{oraz}x\ne -1$$
2. Zapisujemy kwadraty jako iloczyny i skracamy wspólne czynniki $(x+1)$ i $(x-1)$:
   $$\frac{(x+1)(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)(x+1)}=\frac{x-1}{x+1}$$
3. Otrzymane (uproszczone) równanie $\frac{x-1}{x+1}=0$ jest spełnione tylko dla $x=1$. Jednak liczba $1$ nie należy do dziedziny wyznaczonej w pierwszym kroku, więc wyjściowe równanie nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

1. Z wykresu odczytujemy, że obie proste przecinają się w punkcie $(1,1)$ — jedna z prostych jest malejąca, druga rosnąca.
2. Prosta malejąca przechodzi przez punkty $(-3,5)$ oraz $(2,0)$, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi:
   $$a=\frac{0-5}{2-(-3)}=\frac{-5}{5}=-1$$
3. Podstawiając punkt $(2,0)$ do wzoru $y=-x+b$, wyznaczamy wyraz wolny:
   $$0=-2+b⟹b=2$$
4. Prosta rosnąca przechodzi przez punkty $(0,-1)$ oraz $(1,1)$, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi:
   $$a=\frac{1-(-1)}{1-0}=2$$
5. Podstawiając punkt $(0,-1)$ do wzoru $y=2x+b$, wyznaczamy wyraz wolny:
   $$-1=2\cdot 0+b⟹b=-1$$
6. Zatem układ równań przedstawiony na rysunku to:
   $$\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=2x-1\end{array}$$

1. Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki:
   $$\begin{array}{rl}{x}^2-3x& =x(x-3)\\ x^2-4& =(x-2)(x+2)\end{array}$$
2. Zapisujemy równanie w postaci iloczynowej. Mianownik nie może być równy zero, więc dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych bez $2$ i $-2$:
   $$\frac{x(x-3)(x+2)}{(x-2)(x+2)}=0,x\ne 2,x\ne -2$$
3. Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Licznik zeruje się dla $x=0$, $x=3$ lub $x=-2$ — jednak $x=-2$ nie należy do dziedziny, więc to rozwiązanie odrzucamy:
   $$x=0\text{lub}x=3$$
4. Oba pierwiastki należą do dziedziny równania, więc równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

1. Podstawiamy współrzędne punktu $(-8,6)$ do obu równań z odpowiedzi D i sprawdzamy, czy są spełnione:
   $$\begin{array}{rl}& -8-6=-14\\ & -2\cdot (-8)+6=16+6=22\end{array}$$
2. Obie równości są prawdziwe, więc punkt $(-8,6)$ jest punktem przecięcia prostych z odpowiedzi D. Dla pozostałych par co najmniej jedno z równań nie jest przez ten punkt spełnione.

1. Wyznaczamy miejsce zerowe, przyrównując $f(x)$ do zera:
   $$\begin{array}{rl}& -\frac{1}{6}x+\frac{2}{3}=0\\ & \frac{1}{6}x=\frac{2}{3}\\ & x=4\end{array}$$
2. Miejscem zerowym jest rzeczywiście liczba $4$, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Punkt przecięcia wykresu z osią $Oy$ to $\left(0,f(0)\right)$:
   $$f(0)=-\frac{1}{6}\cdot 0+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$$
4. Współrzędne punktu przecięcia to $\left(0,\frac{2}{3}\right)$, a nie $\left(0,-\frac{1}{6}\right)$, więc drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).

1. Funkcja liniowa ma postać $f(x)=ax+b$. Z warunków zadania $f(1)=0$ (miejsce zerowe) oraz $f(-1)=4$ (wykres przechodzi przez ten punkt). Zapisujemy układ równań:
   $$\{\begin{array}{l}a+b=0\\ -a+b=4\end{array}$$
2. Dodajemy równania stronami:
   $$\begin{array}{rl}& 2b=4\\ & b=2\end{array}$$
3. Podstawiamy $b=2$ do pierwszego równania:
   $$a+2=0⟹a=-2$$
4. Wzór funkcji:
   $$f(x)=-2x+2$$