Zbiór zadań

Znaleziono 757 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Parabola ma z osiami układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne: jeden na osi $Oy$ (punkt $M$) i jeden na osi $Ox$ (punkt $N$). Gdyby parabola przecinała oś $Ox$ w dwóch różnych punktach, punktów wspólnych z osiami byłoby razem trzy. Zatem $N=(3,0)$ jest jedynym punktem wspólnym paraboli z osią $Ox$, czyli wierzchołkiem tej paraboli.
2. Zapisujemy wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej z wierzchołkiem w punkcie $N=(3,0)$:
   $$f(x)=a(x-3{)}^2,a\ne 0$$
3. Punkt $M=(0,18)$ leży na wykresie funkcji $f$, więc $f(0)=18$:
   $$\begin{array}{rl}& a(0-3{)}^2=18\\ & 9a=18\\ & a=2\end{array}$$
4. Zatem wzór funkcji kwadratowej to:
   $$f(x)=2(x-3{)}^2=2x^2-12x+18$$

1. Z wykresu odczytujemy, że ramiona paraboli są skierowane w dół, a miejsca zerowe funkcji (punkty przecięcia z osią $Ox$) to $x=-2$ oraz $x=4$.
2. Funkcja przyjmuje wartości nieujemne pomiędzy miejscami zerowymi (łącznie z nimi), zatem zbiorem rozwiązań nierówności $f(x)\ge 0$ jest przedział:
   $$x\in [-2,4]$$

1. Z wykresu odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: $(1,9)$.
2. Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej to $f(x)=a(x-p{)}^2+q$, gdzie $(p,q)$ są współrzędnymi wierzchołka. Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc współczynnik $a$ jest ujemny. Postać kanoniczna funkcji to:
   $$f(x)=-(x-1{)}^2+9$$

1. Parabola jest symetryczna względem prostej przechodzącej przez jej wierzchołek, czyli prostej $x=1$.
2. Punkt $x=-4$ leży w odległości $5$ od osi symetrii ($1-(-4)=5$), więc jego lustrzane odbicie względem tej osi to $x=1+5=6$. Zatem:
   $$f(-4)=f(6)$$

1. W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
   $$2(4+2m)=5m+m$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 8+4m=6m\\ & 8=2m\\ & m=4\end{array}$$

1. Ponieważ ciąg jest arytmetyczny, środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
   $$2\cdot 4=(2m-5)+9$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 8=2m+4\\ & 2m=4\\ & m=2\end{array}$$
3. Podstawiamy $m=2$ do pierwszego wyrazu ciągu: $2m-5=-1$, więc ciąg to $(-1,4,9)$. Wyrazy rosną, więc ciąg jest rosnący.

1. Obliczamy pierwszy i trzeci wyraz ciągu:
   $$a_1=(-1{)}^1\cdot (1-5)=4,a_3=(-1{)}^3\cdot (3-5)=2$$
2. Wyraz $a_1=4$ jest rzeczywiście dwa razy większy od wyrazu $a_3=2$, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Obliczamy drugi wyraz ciągu:
   $$a_2=(-1{)}^2\cdot (2-5)=-3$$
4. Ponieważ $a_2=-3<0$, nie wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie – drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).
   Dodatkowo wyrażenie $(-1{)}^n$ jest zawsze ujemne dla nieparzystych $n$ i dodatnie dla parzystych, więc od pewnego momentu ten ciąg będzie zmieniał znak z plusa na minus co wyraz.

1. Wzór $f(x)=-(x+1{)}^2+4$ ma postać kanoniczną $f(x)=a(x-p{)}^2+q$, więc wierzchołek paraboli ma współrzędne
   $$(p,q)=(-1,4)$$
2. Współczynnik przy $(x+1{)}^2$ jest równy $a=-1<0$, więc ramiona paraboli są skierowane w dół.
3. Wykres funkcji kwadratowej z wierzchołkiem w punkcie $(-1,4)$ i ramionami skierowanymi w dół przedstawiono na rysunku B.

1. Obliczamy wartość funkcji dla $x=0$, czyli punkt przecięcia wykresu z osią $Oy$:
   $$f(0)=-(0+1{)}^2+4=-1+4=3$$
2. Wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,3)$, a nie $(0,4)$, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Wyznaczamy miejsca zerowe, rozwiązując równanie $f(x)=0$:
   $$\begin{array}{rl}& -(x+1{)}^2+4=0\\ & (x+1{)}^2=4\\ & x+1=-2\text{lub}x+1=2\\ & x=-3\text{lub}x=1\end{array}$$
4. Miejsca zerowe funkcji $f$ są równe $-3$ oraz $1$, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

1. Ponieważ ciąg jest geometryczny, kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
   $$6^2=12\cdot (2m-1)$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 36=24m-12\\ & 24m=48\\ & m=2\end{array}$$
3. Iloraz ciągu wynosi $q=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Ponieważ $0<q<1$, a wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, ciąg jest malejący.

1. Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego:
   $$q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{6}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$
2. Piąty wyraz obliczamy, mnożąc $a_3$ dwukrotnie przez iloraz:
   $$a_5=a_3\cdot q^2=\frac{1}{9}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}\cdot \frac{4}{9}=\frac{4}{81}$$

1. Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy sinus kąta $\alpha$ (kąt jest ostry, więc sinus jest dodatni):
   $${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{576}{625}=\frac{49}{625}$$
2. Zatem:
   $$\sin \alpha =\frac{7}{25}$$
3. Tangens obliczamy ze wzoru $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$:
   $$\tan \alpha =\frac{\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}}=\frac{7}{24}$$

1. Sprawdzamy, jakie wartości przyjmuje wyrażenie $(-1{)}^{n+1}$ w zależności od parzystości $n$. Dla $n$ nieparzystego wykładnik $n+1$ jest parzysty, więc $(-1{)}^{n+1}=1$, a dla $n$ parzystego wykładnik $n+1$ jest nieparzysty, więc $(-1{)}^{n+1}=-1$. Zatem:
   $$a_n=\{\begin{array}{ll}2\cdot 1+5=7& \text{gdy }n\text{ nieparzyste}\\ 2\cdot (-1)+5=3& \text{gdy }n\text{ parzyste}\end{array}$$
2. Wśród dziesięciu początkowych wyrazów jest pięć wyrazów nieparzystych (równych $7$) i pięć parzystych (równych $3$). Obliczamy sumę:
   $$S=5\cdot 7+5\cdot 3=35+15=50$$