Zbiór zadań

Znaleziono 199 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Sprawdzamy pierwsze zdanie. Zapisujemy $9$ jako potęgę liczby $3$, a następnie mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki.
   $$3\cdot 9^5=3^1\cdot (3^2{)}^5=3^1\cdot 3^{10}=3^{11}$$
2. Otrzymany wynik jest równy $3^{11}$ z treści zdania, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
3. Sprawdzamy drugie zdanie. W liczniku mnożymy potęgi o tej samej podstawie, a potem dzielimy przez potęgę w mianowniku, odejmując wykładniki.
   $$\frac{2^8\cdot 2^7}{2^{10}}=\frac{2^{15}}{2^{10}}=2^5$$
4. Otrzymany wynik jest równy $2^5$ z treści zdania, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P).

1. Portal $\mathcal{F}$ wskazało $72$ uczniów, co stanowi $45\%$ wszystkich uczniów. Obliczamy więc liczbę wszystkich uczniów.
   $$\frac{72}{0,45}=160$$
2. Sprawdzamy pierwsze zdanie – obliczamy, ilu uczniów wskazało portal $\mathcal{Y}$ ($25\%$ wszystkich).
   $$160\cdot \frac{25}{100}=40$$
3. Otrzymana liczba ($40$) zgadza się z treścią zdania, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
4. Sprawdzamy drugie zdanie – obliczamy liczbę uczniów, którzy wskazali portal $\mathcal{I}$ ($10\%$) i portal $\mathcal{S}$ ($15\%$).
   $$\begin{array}{rl}& 160\cdot \frac{10}{100}=16\\ & 160\cdot \frac{15}{100}=24\end{array}$$
5. Portal $\mathcal{I}$ wskazało rzeczywiście o $8$ uczniów mniej niż portal $\mathcal{S}$, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.
   $$24-16=8$$

1. Obliczamy łączną liczbę balonów w pudełku.
   $$10+8+6+8=32$$
2. Karolina wyjęła już dwa czerwone balony, więc w pudełku zostało $30$ balonów, w tym $10-2=8$ czerwonych.
3. Prawdopodobieństwo wyjęcia czerwonego balonu jako trzeciego to stosunek liczby pozostałych czerwonych balonów do liczby wszystkich pozostałych balonów.
   $$P=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}$$

1. Obliczamy masę rodzynek w opakowaniu:
   $$15\%\cdot 320\text{g}=48\text{g}$$
2. Masa orzechów jest większa od masy rodzynek o $80\text{g}-48\text{g}=32\text{g}$ (odpowiedź A).
3. Obliczamy masę całej mieszanki:
   $$320\text{g}+80\text{g}=400\text{g}$$
4. Obliczamy, jaki procent mieszanki stanowią orzechy:
   $$\frac{80}{400}=0,2=20\%$$
5. Mieszanka zawiera więc $20\%$ orzechów (odpowiedź C).

1. Średnia arytmetyczna trzech liczb $x$, $y$, $z$ jest równa $12$, więc ich suma jest równa:
   $$x+y+z=12\cdot 3=36$$
2. Ponieważ $x=6$, obliczamy sumę $y+z$.
   $$y+z=36-6=30$$
3. Średnia arytmetyczna liczb $y$ i $z$ jest równa:
   $$\frac{y+z}{2}=\frac{30}{2}=15$$
4. Odpowiedzią na pierwsze zdanie jest B ($15$). Obliczamy teraz średnią arytmetyczną czterech liczb $x,y,z,a$, korzystając z sumy $x+y+z=36$ oraz $a=4$.
   $$\frac{x+y+z+a}{4}=\frac{36+4}{4}=\frac{40}{4}=10$$
5. Odpowiedzią na drugie zdanie jest D ($10$). Odpowiedź: BD.

1. Bok $EF$ prostokąta $EBCF$ jest jednocześnie bokiem kwadratu $AEFD$ – oznaczmy jego długość przez $a$. Prostokąt $EBCF$ ma boki $EB=10$ cm oraz $BC=EF=a$.
   $$2\cdot (10+a)=36$$
2. Rozwiązujemy równanie i wyznaczamy $a$.
   $$\begin{array}{rl}& 10+a=18\\ & a=8\end{array}$$
3. Pole kwadratu $AEFD$ o boku $a=8$ cm jest równe:
   $$a^2=8^2=64{\text{cm}}^2$$

1. Mnożymy każdy z nawiasów przez stojący przed nim czynnik.
   $$\begin{array}{rl}& x(x+4)=x^2+4x\\ & -3(2x-5)=-6x+15\end{array}$$
2. Dodajemy otrzymane wyrażenia i redukujemy wyrazy podobne.
   $$x^2+4x-6x+15=x^2-2x+15$$

1. Obliczamy średnią liczby punktów zdobytych przez Antka w jednym meczu:
   $$84:6=14$$
2. Średnia jest równa $14$, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
3. Obliczamy łączną liczbę punktów po rozegraniu siódmego meczu, w którym Antek zdobędzie $21$ punktów, i dzielimy przez liczbę meczów:
   $$(84+21):7=105:7=15$$
4. Średnia rzeczywiście będzie równa $15$, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P).

1. Zamieniamy godzinę przyjazdu na minuty liczone od północy.
   $$17\cdot 60+31=1051$$
2. Rzeczywisty czas podróży to czas planowany powiększony o czterominutowe opóźnienie.
   $$2\cdot 60+54+4=178$$
3. Odejmujemy czas podróży (w minutach) od godziny przyjazdu (w minutach), aby otrzymać godzinę wyjazdu.
   $$1051-178=873$$
4. Zamieniamy wynik z powrotem na godziny i minuty.
   $$873=14\cdot 60+33$$
5. Zatem pociąg wyjechał z Olsztyna o godzinie $14:33$.

1. Liczbę mieszaną pod pierwiastkiem zamieniamy na ułamek niewłaściwy:
   $$6\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$
2. Obliczamy pierwiastek kwadratowy:
   $$\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$$
3. To odpowiada literze A.
4. Szukamy liczby, która podniesiona do trzeciej potęgi daje $0,064$:
   $$0,4^3=0,4\cdot 0,4\cdot 0,4=0,064$$
5. Zatem $\sqrt[3]{0,064}=0,4$ (odpowiedź C).

1. Odczytujemy z wykresu współrzędne wierzchołków trapezu:
   

   • $E=(2,0)$
   • $F=(4,1)$
   • $G=(1,4)$
   • $H=(0,2)$
2. Podane punkty $(1,4)$ i $(2,0)$ to współrzędne wierzchołków $G$ i $E$ (odpowiedź B).

1. Pole rombu obliczamy ze wzoru z iloczynem przekątnych.
   $$P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$$
2. Podstawiamy długości przekątnych $24$ cm i $18$ cm.
   $$P=\frac{24\cdot 18}{2}=\frac{432}{2}=216{\text{cm}}^2$$

1. Z wykresu odczytujemy, że przy zużyciu $10$ litrów farby pomalowano powierzchnię $100{\text{m}}^2$, a przy $20$ litrach – $200{\text{m}}^2$. Współczynnik proporcjonalności wynosi więc $k=10$.
2. Sprawdzamy pierwsze zdanie: obliczamy powierzchnię pomalowaną $18$ litrami farby.
   $$18\cdot 10=180$$
3. Otrzymany wynik zgadza się z podanym w zdaniu ($180{\text{m}}^2$), więc pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
4. Sprawdzamy drugie zdanie: obliczamy, ile litrów farby potrzeba na pomalowanie $125{\text{m}}^2$ powierzchni.
   $$125:10=12,5$$
5. Potrzeba $12,5$ litra farby, a nie $12$ litrów, więc drugie zdanie jest fałszywe (F).