Logarytmy

Definicja logarytmu, działania na logarytmach i równania logarytmiczne. Logarytm odpowiada na pytanie „do której potęgi podnieść podstawę", więc cały dział wyrasta z własności potęg.

Ten dział to średnio 1 zadanie i 1 pkt na arkuszu.

Zadanie 3 Logarytmy

1 pkt

Liczba

lo g_{5} 325

jest równa

\frac{2}{3}

1
Zapisujemy liczbę pod logarytmem jako potęgę liczby $5$ o wykładniku wymiernym:
$325 = 2 5^{\frac{1}{3}} = (5^{2})^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$
2
Obliczamy logarytm, korzystając z definicji:
$lo g_{5} 5^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}$

Lista zadań

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Definicja logarytmu i założenia na podstawę oraz liczbę logarytmowaną
Logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi
Zamiana podstawy logarytmu
Równania logarytmiczne wraz z dziedziną
Obliczanie wartości wyrażeń z logarytmami bez kalkulatora

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Logarytmy

Niech $a > 0$ i $a \neq = 1$ . Logarytmem $lo g_{a} b$ liczby $b > 0$ przy podstawie $a$ nazywamy wykładnik $c$ potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ :

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b

Równoważnie:

a^{l o g_{a} b} = b

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x > 0$ , $y > 0$ oraz $r$ prawdziwe są równości:

lo g_{a} (x \cdot y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y

lo g_{a} x^{r} = r \cdot lo g_{a} x

lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y

Wzór na zamianę podstawy logarytmu: jeżeli $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ , $b \neq = 1$ oraz $c > 0$ , to:

lo g_{b} c = \frac{lo g _{a} c}{lo g _{a} b}

W szczególności:

lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}

Zapisy $lo g x$ oraz $l g x$ oznaczają $lo g_{10} x$ .

Najczęstsze pytania

Bo podstawa logarytmu jest dodatnia, a dodatnia liczba podniesiona do dowolnej potęgi rzeczywistej zawsze daje wynik dodatni. Nie ma więc wykładnika, dla którego wyszłaby liczba ujemna albo zero.

Od dziedziny: każde wyrażenie pod logarytmem musi być dodatnie. Dopiero potem korzystasz z własności logarytmów, a na końcu sprawdzasz, które z otrzymanych liczb należą do wyznaczonej dziedziny.

Warto przeczytać

Do czego w życiu przydają się logarytmy?

Słuch i wzrok reagują na to, ile razy bodziec urósł, a nie o ile. Logarytm zamienia mnożenie w dodawanie, więc mierzy się nim decybele i jasność. Przy okazji liczy cyfry wielkich liczb.

14 min czytania

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu logarytmy.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Logarytmy

Najczęstsze pytania

Warto przeczytać

Do czego w życiu przydają się logarytmy?