Zbiór zadań

Znaleziono 48 zadań. Losuj z tych filtrów →

1. Z rysunku odczytujemy obwody kolejnych trapezów. Trapez złożony z $3$ trójkątów ma podstawę dolną $4$ cm, podstawę górną $2$ cm i dwa boki ukośne po $2$ cm, czyli obwód $10$ cm. Trapez złożony z $5$ trójkątów ma obwód $14$ cm, a złożony z $7$ trójkątów ma obwód $18$ cm:
   $$10,14,18,\dots$$
2. Zauważamy regularność: każdy kolejny trapez w tym ciągu ma o $2$ trójkąty więcej i obwód większy o $4$ cm od poprzedniego.
3. Obliczamy, o ile centymetrów trzeba zwiększyć obwód (z $10$ cm do $42$ cm) i ile to daje kroków po $4$ cm:
   $$42-10=32,32:4=8\text{ krokoˊw}$$
4. Każdy krok oznacza $2$ dodatkowe trójkąty, więc do wyjściowych $3$ trójkątów trzeba dołożyć:
   $$8\cdot 2=16\text{ troˊjkątoˊw}$$
5. Łączna liczba trójkątów w szukanym trapezie:
   $$3+16=19$$

1. Obliczamy kolejne wyrazy ciągu, odejmując za każdym razem $6$ od poprzedniego wyrazu:
   $$\begin{array}{rl}{a}_1& =2\\ a_2& =2-6=-4\\ a_3& =-4-6=-10\\ a_4& =-10-6=-16\\ a_5& =-16-6=-22\end{array}$$

1. Wzór rekurencyjny $a_{n+1}=a_n-6$ oznacza, że różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i wynosi $-6$ — ciąg jest więc arytmetyczny (P).
2. Ponieważ różnica ciągu jest ujemna ($r=-6<0$), każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego — ciąg jest malejący (P).

1. Ciąg jest arytmetyczny o pierwszym wyrazie $a_1=5$ i różnicy $r=2$.
2. Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
   $$S_{100}=\frac{100}{2}\left(2a_1+99r\right)=50\left(10+198\right)=50\cdot 208=10400$$

1. Zapisujemy wyrazy $a_6$ i $a_8$ za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu $q$:
   $$a_6=a_1{q}^5,a_8=a_1{q}^7$$
2. Podstawiamy do warunku zadania:
   $$a_1{q}^5=25\cdot a_1{q}^7⟹1=25q^2⟹q^2=\frac{1}{25}⟹q=\pm \frac{1}{5}$$
3. Ciąg jest malejący. Iloraz ujemny dawałby ciąg naprzemienny (niemonotoniczny), więc odrzucamy $q=-\frac{1}{5}$. Pozostaje $q=\frac{1}{5}$, dla którego (przy dodatnim $a_1$) ciąg rzeczywiście maleje.

1. Oznaczmy iloraz ciągu geometrycznego przez $q$. Środkowy wyraz to $a_3=2$, więc:
   $$a_1=\frac{2}{q^2},a_2=\frac{2}{q},a_4=2q,a_5=2q^2$$
2. Mnożymy skrajne pary wyrazów, w każdej z nich czynniki $q$ się skracają:
   $$a_1\cdot a_5=\frac{2}{q^2}\cdot 2q^2=2^2,a_2\cdot a_4=\frac{2}{q}\cdot 2q=2^2$$
3. Cały iloczyn to zatem $2^2\cdot 2^2\cdot 2$, czyli piąta potęga środkowego wyrazu:
   $$a_1\cdot a_2\cdot 2\cdot a_4\cdot a_5=2^5=32$$

1. Obliczamy różnicę ciągu:
   $$\begin{array}{rl}& a_5=a_1+4r\\ & 17=1+4r\\ & r=4\end{array}$$
2. Obliczamy dziewiąty wyraz:
   $$a_9=a_1+8r=1+8\cdot 4=33$$

1. Oznaczmy pierwszy wyraz przez $a_1$ i iloraz przez $q$. Wtedy:
   $$\begin{array}{rl}& a_3\cdot a_6=a_1{q}^2\cdot a_1{q}^5\\ & a_3\cdot a_6=a_1^2{q}^7\end{array}$$
2. Podobnie $a_2\cdot a_7$:
   $$\begin{array}{rl}& a_2\cdot a_7=a_{1}q\cdot a_1{q}^6\\ & a_2\cdot a_7=a_1^2{q}^7\end{array}$$
3. Więc wychodzi na to, że oba wyrażenia możno sprowadzić do tego samego $a_2\cdot a_7=a_1^2{q}^7=a_3\cdot a_6$, więc: