Zbiór zadań

Znaleziono 101 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Korzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego $S=\frac{a_1}{1-q}$ i podstawiamy dane $S=\frac{9}{4}$ oraz $q=\frac{2}{3}$.
   $$\frac{9}{4}=\frac{a_1}{1-\frac{2}{3}}$$
2. Upraszczamy mianownik po prawej stronie i wyznaczamy $a_1$.
   $$\begin{array}{rl}& \frac{9}{4}=\frac{a_1}{\frac{1}{3}}\\ & \frac{9}{4}=3a_1\\ & a_1=\frac{3}{4}\end{array}$$

1. Obliczamy kolejne wyrazy ciągu, korzystając ze wzoru rekurencyjnego.
   $$\begin{array}{rl}& a_1=\sqrt{2}\\ & a_2=\frac{4}{a_1}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\\ & a_3=\frac{4}{a_2}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\end{array}$$
2. Zauważamy, że $a_3=a_1$, więc ciąg jest okresowy z okresem $2$: dla $n$ nieparzystych $a_n=\sqrt{2}$, a dla $n$ parzystych $a_n=2\sqrt{2}$.
3. Liczba $10$ jest parzysta, więc $a_{10}=2\sqrt{2}$. Zapisujemy przybliżenie dziesiętne tej liczby.
   $$a_{10}=2\sqrt{2}=2,828427\dots$$
4. Odczytujemy pierwszą, drugą i trzecią cyfrę po przecinku.
   $$8,2,8$$

1. Z rysunku odczytujemy obwody kolejnych trapezów. Trapez złożony z $3$ trójkątów ma podstawę dolną $4$ cm, podstawę górną $2$ cm i dwa boki ukośne po $2$ cm, czyli obwód $10$ cm. Trapez złożony z $5$ trójkątów ma obwód $14$ cm, a złożony z $7$ trójkątów ma obwód $18$ cm:
   $$10,14,18,\dots$$
2. Zauważamy regularność: każdy kolejny trapez w tym ciągu ma o $2$ trójkąty więcej i obwód większy o $4$ cm od poprzedniego.
3. Obliczamy, o ile centymetrów trzeba zwiększyć obwód (z $10$ cm do $42$ cm) i ile to daje kroków po $4$ cm:
   $$42-10=32,32:4=8\text{ krokoˊw}$$
4. Każdy krok oznacza $2$ dodatkowe trójkąty, więc do wyjściowych $3$ trójkątów trzeba dołożyć:
   $$8\cdot 2=16\text{ troˊjkątoˊw}$$
5. Łączna liczba trójkątów w szukanym trapezie:
   $$3+16=19$$

1. Różnica $a_3-a_2$ to różnica ciągu arytmetycznego $r$, więc $r=-6$.
2. Piąty wyraz ciągu obliczamy ze wzoru $a_5=a_1+4r$:
   $$a_5=2+4\cdot (-6)=2-24=-22$$

1. W ciągu geometrycznym o pięciu wyrazach środkowy wyraz to $a_3=2$. Skrajne wyrazy z każdej strony środka są tak samo oddalone, więc ich iloczyny równają się kwadratowi środka: $a_1\cdot a_5=a_3^2$ oraz $a_2\cdot a_4=a_3^2$.
2. Cały iloczyn to więc piąta potęga środkowego wyrazu.
   $$a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot a_5=a_3^5=2^5=32$$

1. Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $a_n=a_1+(n-1)r$. Z warunku $a_5=17$ wyznaczamy różnicę $r$:
   $$\begin{array}{rl}& a_5=a_1+4r\\ & 17=1+4r\\ & r=4\end{array}$$
2. Obliczamy dziewiąty wyraz ciągu:
   $$a_9=a_1+8r=1+8\cdot 4=33$$

1. Obliczamy kolejne wyrazy ciągu, odejmując za każdym razem $6$ od poprzedniego wyrazu:
   $$\begin{array}{rl}{a}_1& =2\\ a_2& =2-6=-4\\ a_3& =-4-6=-10\\ a_4& =-10-6=-16\\ a_5& =-16-6=-22\end{array}$$

1. Wzór rekurencyjny $a_{n+1}=a_n-6$ oznacza, że różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i wynosi $-6$ — ciąg jest więc arytmetyczny (P).
2. Ponieważ różnica ciągu jest ujemna ($r=-6<0$), każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego — ciąg jest malejący (P).