Zbiór zadań

Znaleziono 90 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Punkt $S$ jest środkiem symetrii równoległoboku, czyli jest środkiem przekątnej $AC$. Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:
   $$S=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)$$
2. Podstawiamy współrzędne punktów $A=(-1,-4)$ i $S=(2,2)$ i wyznaczamy $x_C$:
   $$\begin{array}{rl}& 2=\frac{-1+x_C}{2}\\ & 4=-1+x_C\\ & x_C=5\end{array}$$
3. Analogicznie wyznaczamy $y_C$:
   $$\begin{array}{rl}& 2=\frac{-4+y_C}{2}\\ & 4=-4+y_C\\ & y_C=8\end{array}$$
4. Otrzymujemy $C=(5,8)$. Obliczamy długość odcinka $AC$ ze wzoru na odległość dwóch punktów:
   $$\begin{array}{rl}& |AC|=\sqrt{(x_C-x_A{)}^2+(y_C-y_A{)}^2}\\ & |AC|=\sqrt{(5-(-1){)}^2+(8-(-4){)}^2}\\ & |AC|=\sqrt{6^2+12^2}\\ & |AC|=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\end{array}$$

1. Suma wektorów jest wektorem zerowym, więc obie jej współrzędne są równe zero.
   $$\begin{array}{rl}& 2+2m+n+1=0\\ & \frac{2}{3}n+1+m+2=0\end{array}$$
2. Upraszczamy oba równania.
   $$\begin{array}{rl}& 2m+n+3=0\\ & \frac{2}{3}n+m+3=0\end{array}$$
3. Z pierwszego równania wyznaczamy $n$ w zależności od $m$.
   $$n=-2m-3$$
4. Podstawiamy do drugiego równania i wyznaczamy $m$.
   $$\begin{array}{rl}& \frac{2}{3}(-2m-3)+m+3=0\\ & -\frac{4}{3}m-2+m+3=0\\ & -\frac{1}{3}m+1=0\\ & m=3\end{array}$$
5. Obliczamy $n$.
   $$n=-2\cdot 3-3=-9$$

1. Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$:
   $$\frac{2}{3}\cdot (2m-1)=-1$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 2m-1=-\frac{3}{2}\\ & 2m=-\frac{1}{2}\\ & m=-\frac{1}{4}\end{array}$$

1. Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc ma wzór $y=kx$.
2. Podstawiamy współrzędne punktu $A$, aby wyznaczyć $k$:
   $$6=k\cdot (-2)⟹k=-3$$
3. Podstawiamy $k$ i pierwszą współrzędną punktu $B$:
   $$b=k\cdot 3=-3\cdot 3=-9$$

1. W rombie przekątne przecinają się w połowie swojej długości, więc przekątne $AC$ i $BD$ mają wspólny środek. Wystarczy obliczyć środek odcinka $AC$:
   $$S=\left(\frac{1+(-2)}{2},\frac{-3+4}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

1. Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$.
2. Sprawdzamy iloczyny współczynników kierunkowych dla par prostych:
   $$\begin{array}{rl}& k\cdot l:(-1)\cdot \frac{2}{3}=-\frac{2}{3}\\ & k\cdot n:(-1)\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}\\ & l\cdot m:\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-1\\ & m\cdot n:\left(-\frac{3}{2}\right)\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=1\end{array}$$
3. Jedynie iloczyn współczynników kierunkowych prostych $l$ i $m$ jest równy $-1$, więc to one są prostopadłe.

1. W równoległoboku $ABCD$ przekątne $AC$ i $BD$ mają wspólny środek, więc wierzchołek $D$ wyznaczamy ze wzoru $D=A+C-B$:
   $$D=(-6+10-5,5-3-7)=(-1,-5)$$
2. Obliczamy długość odcinka $BD$ ze wzoru na odległość dwóch punktów:
   $$|BD|=\sqrt{(5-(-1){)}^2+(7-(-5){)}^2}=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$$

1. Pierwsza współrzędna środka odcinka to średnia arytmetyczna pierwszych współrzędnych jego końców:
   $$\frac{4+b}{2}=-12$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 4+b=-24\\ & b=-28\end{array}$$

1. Obliczamy długość boku kwadratu, czyli odległość punktów $A$ i $B$:
   $$|AB|=\sqrt{(4-(-4){)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$$
2. Przekątna kwadratu jest $\sqrt{2}$ razy dłuższa od boku:
   $$d=4\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{10}$$

1. Symetria względem osi $Ox$ przekształca punkt $(x,y)$ w punkt $(x,-y)$, więc w równaniu prostej zastępujemy $y$ przez $-y$:
   $$-y=2x+5$$
2. Mnożymy obie strony przez $-1$, aby otrzymać równanie w postaci kierunkowej:
   $$y=-2x-5$$

1. Podstawiamy $x=0$ do równania okręgu:
   $$(0-3{)}^2+(y-3{)}^2=13$$
2. Upraszczamy:
   $$\begin{array}{rl}& 9+(y-3{)}^2=13\\ & (y-3{)}^2=4\end{array}$$
3. Pierwiastkujemy obustronnie:
   $$y-3=2\text{lub}y-3=-2$$
4. Stąd:
   $$y=5\text{lub}y=1$$
5. Okrąg przecina oś $Oy$ w punktach $(0,1)$ i $(0,5)$.